Упр.56 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, $$A$$ — точка плоскости $$\alpha$$. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку $$A$$ и параллельная плоскости $$\beta$$, лежит в плоскости $$\alpha$$.

Предположим противное: пусть прямая $$a$$, проходящая через точку $$A$$, не лежит в плоскости $$\alpha$$.

Тогда прямая $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$A$$, то есть $$a \cap \alpha = A$$.

Но по условию $$a \parallel \beta$$, а плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны. Если бы прямая $$a$$ не лежала в $$\alpha$$, то, проходя через точку $$A \in \alpha$$ и будучи параллельной плоскости $$\beta$$, она не могла бы пересекать $$\beta$$. С другой стороны, из того, что $$\alpha \parallel \beta$$, следует, что любая прямая, лежащая в $$\alpha$$ и проходящая через $$A$$, не пересекает $$\beta$$.

Получаем противоречие с предположением, что $$a$$ не лежит в плоскости $$\alpha$$. Значит, прямая $$a$$ лежит в плоскости $$\alpha$$.

Ответ: $$a \subset \alpha$$.