Упр.557 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины рёбер \(AC\), \(BC\) и \(CD\) соответственно, \(AB=3\) см, \(BC=4\) см, \(BD=5\) см. Найдите длины векторов:
а) $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{BD},\ \overrightarrow{NM},\ \overrightarrow{BN},\ \overrightarrow{NK}$$;
б) $$\overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{DB},\ \overrightarrow{NC},\ \overrightarrow{KN}$$.
Так как $$M$$ и $$N$$ — середины ребер $$AC$$ и $$BC$$, то в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ является средней линией. Поэтому
$$MN=\frac12 AB=\frac12\cdot 3=1{,}5\text{ см}.$$
Так как $$N$$ — середина $$BC$$, то
$$BN=NC=\frac12 BC=\frac12\cdot 4=2\text{ см}.$$
Так как $$N$$ и $$K$$ — середины ребер $$BC$$ и $$CD$$, то в треугольнике $$BCD$$ отрезок $$NK$$ — средняя линия. Следовательно,
$$NK=\frac12 BD=\frac12\cdot 5=2{,}5\text{ см}.$$
Теперь выпишем длины векторов. Длина вектора равна длине соответствующего отрезка, а противоположно направленные векторы имеют одинаковую длину:
а) $$|\overrightarrow{AB}|=3\text{ см},\quad |\overrightarrow{BC}|=4\text{ см},\quad |\overrightarrow{BD}|=5\text{ см},\quad |\overrightarrow{NM}|=1{,}5\text{ см},\quad |\overrightarrow{BN}|=2\text{ см},\quad |\overrightarrow{NK}|=2{,}5\text{ см}.$$
б) $$|\overrightarrow{CB}|=4\text{ см},\quad |\overrightarrow{BA}|=3\text{ см},\quad |\overrightarrow{DB}|=5\text{ см},\quad |\overrightarrow{NC}|=2\text{ см},\quad |\overrightarrow{KN}|=2{,}5\text{ см}.$$
Ответ: а) $$3\text{ см},\ 4\text{ см},\ 5\text{ см},\ 1{,}5\text{ см},\ 2\text{ см},\ 2{,}5\text{ см};$$ б) $$4\text{ см},\ 3\text{ см},\ 5\text{ см},\ 2\text{ см},\ 2{,}5\text{ см}.$$
