Упр.556 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого равен 10 см, а толщина стенки: а) 2 мм; б) 1,5 мм? (Плотность меди 8,9 г/см3.)
Пусть $$R=5\text{ см}$$ — внешний радиус шара. Чтобы шар плавал в воде, его средняя плотность должна быть меньше плотности воды $$\rho_{\text{в}}=1\text{ г/см}^3$$.
Толщина стенки равна $$d$$, тогда внутренний радиус шара:
$$r=R-d.$$
Объём меди, из которой сделан шар:
$$V=\frac{4}{3}\pi\left(R^3-r^3\right)=\frac{4}{3}\pi\left(R^3-(R-d)^3\right).$$
Масса шара:
$$m=\rho_{\text{м}}V,$$
где $$\rho_{\text{м}}=8{,}9\text{ г/см}^3$$ — плотность меди.
Средняя плотность шара:
$$\rho=\frac{m}{V_{\text{шара}}}, \qquad V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$
а) $$d=2\text{ мм}=0{,}2\text{ см}.$$ Тогда
$$r=5-0{,}2=4{,}8\text{ см}.$$
$$V=\frac{4}{3}\pi\left(5^3-4{,}8^3\right)\approx \frac{4}{3}\cdot 3{,}14\cdot(125-110{,}592)\approx 60{,}4\text{ см}^3.$$
$$m=8{,}9\cdot 60{,}4\approx 537{,}6\text{ г}.$$
$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^3\approx 523{,}3\text{ см}^3.$$
$$\rho=\frac{537{,}6}{523{,}3}\approx 1{,}03\text{ г/см}^3>1\text{ г/см}^3.$$
Значит, шар не будет плавать.
б) $$d=1{,}5\text{ мм}=0{,}15\text{ см}.$$ Тогда
$$r=5-0{,}15=4{,}85\text{ см}.$$
$$V=\frac{4}{3}\pi\left(5^3-4{,}85^3\right)\approx \frac{4}{3}\cdot 3{,}14\cdot(125-114{,}084)\approx 45{,}7\text{ см}^3.$$
$$m=8{,}9\cdot 45{,}7\approx 406{,}9\text{ г}.$$
$$\rho=\frac{406{,}9}{523{,}3}\approx 0{,}78\text{ г/см}^3<1\text{ г/см}^3.$$
Следовательно, шар будет плавать.
Ответ
а) нет; б) да.