Упр.555 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое — наименьший?

Подробный ответ

Обозначим через $$a$$ сторону куба, через $$R$$ радиус шара, через $$r_1$$ радиус основания цилиндра, через $$r_2$$ радиус основания конуса. Для цилиндра и конуса по условию $$h=2r$$.

Площади поверхностей всех тел равны, значит можно выразить их параметры через $$R$$.

Для куба:

$$4a^2=4\pi R^2,$$
откуда $$a=R\sqrt{\pi}.$$

Для цилиндра:

$$2\pi r_1(h_1+r_1)=4\pi R^2.$$

Так как $$h_1=2r_1$$, получаем

$$2\pi r_1(2r_1+r_1)=4\pi R^2,$$
$$3r_1^2=2R^2,$$
$$r_1=R\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Для конуса:

$$\pi r_2\left(r_2+\sqrt{r_2^2+h_2^2}\right)=4\pi R^2.$$

Так как $$h_2=2r_2$$, то

$$r_2\left(r_2+\sqrt{r_2^2+4r_2^2}\right)=4R^2,$$
$$r_2^2(1+\sqrt{5})=4R^2.$$

Но для сравнения объёмов удобнее использовать отношение объёма к площади поверхности.

Для куба:

$$V_{\text{куба}}=a^3=R^3\pi\sqrt{\pi},$$
$$\frac{V_{\text{куба}}}{S}=\frac{R\sqrt{\pi}}{4}.$$

Для шара:

$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3,$$
$$\frac{V_{\text{шара}}}{S}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2}=\frac{R}{3}.$$

Для цилиндра:

$$V_{\text{цил}}=\pi r_1^2h_1=2\pi r_1^3,$$
$$\frac{V_{\text{цил}}}{S}=\frac{2\pi r_1^3}{2\pi r_1(h_1+r_1)}=\frac{r_1}{3}=\frac{R}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Для конуса:

$$V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi r_2^2h_2=\frac{2}{3}\pi r_2^3,$$
$$\frac{V_{\text{конуса}}}{S}=\frac{\frac{2}{3}\pi r_2^3}{\pi r_2\left(r_2+\sqrt{r_2^2+h_2^2}\right)}=\frac{2}{3}\cdot\frac{r_2^2}{r_2+\sqrt{r_2^2+4r_2^2}}.$$

После подстановки и упрощения получаем, что среди этих отношений наибольшее у шара, затем у цилиндра, потом у куба, и наименьшее у конуса. Значит, при равных площадях поверхностей порядок объёмов такой:

$$V_{\text{шара}}>V_{\text{цил}}>V_{\text{куба}}>V_{\text{конуса}}.$$

Ответ: наибольший объём имеет шар, наименьший — конус.