Упр.554 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которого присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен $$1{,}5\ \text{м}$$, а высота сегмента равна $$0{,}5\ \text{м}$$. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась $$50\ \text{м}^3$$?

Подробный ответ

Объём цистерны равен сумме объёма цилиндра и объёма двух равных шаровых сегментов.

Объём одного шарового сегмента вычисляется по формуле

$$V_{\text{сег}}=\pi h^2\left(r-\frac{h}{3}\right).$$

При $$r=1{,}5\text{ м}$$ и $$h=0{,}5\text{ м}$$ получаем

$$V_{\text{сег}}=\pi\cdot 0{,}5^2\left(1{,}5-\frac{0{,}5}{3}\right)=\pi\cdot 0{,}25\cdot \frac{4}{3}=\frac{\pi}{3}\text{ м}^3.$$

Тогда объём двух сегментов равен

$$2V_{\text{сег}}=\frac{2\pi}{3}\text{ м}^3.$$

Объём цилиндра:

$$V_{\text{цил}}=\pi r^2l=\pi\cdot 1{,}5^2\cdot l=2{,}25\pi l.$$

По условию общий объём равен $$50\text{ м}^3$$, значит

$$2{,}25\pi l+\frac{2\pi}{3}=50.$$