Упр.553 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю $$10\ \text{см}$$. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол $$р$$. Найдите площадь поверхности и объём шара.

Проведём высоту пирамиды $$MH$$. Тогда в треугольниках $$MAB$$, $$MBC$$, $$MCD$$ и $$MDA$$ угол между боковым ребром и основанием равен $$\beta$$, значит

$$\angle MAH=\angle MBH=\angle MCH=\angle MDH=\beta.$$

Треугольники $$MHA$$, $$MHB$$, $$MHC$$ и $$MHD$$ прямоугольные и равны, поэтому

$$AH=BH=CH=DH=r,$$

где $$r$$ — радиус окружности, описанной около прямоугольника $$ABCD$$.

Диагональ прямоугольника $$AC=10$$, значит в прямоугольнике

$$r=\frac{AC}{2}=5.$$

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью $$AMC$$. В треугольнике $$AMC$$ имеем

$$\angle AMC=180^\circ-2\beta,$$

по теореме синусов:

$$\frac{AC}{\sin \angle AMC}=2R,$$

где $$R$$ — радиус шара. Тогда

$$\frac{10}{\sin(180^\circ-2\beta)}=2R.$$

Так как $$\sin(180^\circ-2\beta)=\sin 2\beta$$, получаем

$$R=\frac{10}{2\sin 2\beta}=\frac{5}{\sin 2\beta}.$$

Теперь найдём площадь поверхности шара:

$$S=4\pi R^2=4\pi\cdot \frac{25}{\sin^2 2\beta}=\frac{100\pi}{\sin^2 2\beta}\ \text{см}^2.$$

Объём шара равен

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{125}{\sin^3 2\beta}=\frac{500\pi}{3\sin^3 2\beta}\ \text{см}^3.$$

Ответ

$$S=\frac{100\pi}{\sin^2 2\beta}\ \text{см}^2,\qquad V=\frac{500\pi}{3\sin^3 2\beta}\ \text{см}^3.$$