Упр.553 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол р. Найдите площадь поверхности и объем шара.

Подробный ответ

Пусть $$MH$$ — высота пирамиды, а $$H$$ — проекция вершины $$M$$ на основание $$ABCD$$. Тогда в прямоугольных треугольниках $$MHA$$, $$MHB$$, $$MHC$$ и $$MHD$$ углы при основании равны $$\beta$$, значит

$$HA=HB=HC=HD=r.$$

Следовательно, точка $$H$$ — центр окружности, описанной около прямоугольника $$ABCD$$, а $$r$$ — её радиус. Для прямоугольника радиус описанной окружности равен половине диагонали, поэтому

$$AC=10,\qquad r=\frac{AC}{2}=5.$$

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью $$MAC$$. В этом сечении $$AC$$ — хорда шара, а угол между боковым ребром и основанием равен $$\beta$$, поэтому

$$\angle AMC=180^\circ-2\beta.$$

По теореме синусов в треугольнике $$MAC$$:

$$ \frac{AC}{\sin \angle AMC}=2R, $$

где $$R$$ — радиус шара. Тогда

$$ \frac{10}{\sin(180^\circ-2\beta)}=2R. $$

Так как $$\sin(180^\circ-2\beta)=\sin 2\beta$$, получаем

$$ R=\frac{10}{2\sin 2\beta}=\frac{5}{\sin 2\beta}. $$

Теперь найдём площадь поверхности шара:

$$ S=4\pi R^2=4\pi\cdot \frac{25}{\sin^2 2\beta} =\frac{100\pi}{\sin^2 2\beta}. $$

И объём шара: