Упр.552 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Найдите площадь поверхности и объем шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол а.

Подробный ответ

Пусть $$M$$ — вершина пирамиды, а $$O$$ — центр шара. Так как шар вписан в пирамиду, то его центр равноудалён от всех граней пирамиды, а значит, лежит на высоте пирамиды. Следовательно, $$MO$$ — высота пирамиды.

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник $$ABC$$, причём $$\angle C=90^\circ$$. Тогда гипотенуза $$AB$$ является диаметром описанной около треугольника окружности, а центр этой окружности — середина $$AB$$. Обозначим радиус шара через $$R$$.

Рассмотрим треугольники $$MOA$$, $$MOB$$ и $$MOC$$. Они прямоугольные, так как $$MO \perp ABC$$, и имеют общий катет $$MO$$. По условию каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол $$\alpha$$, значит

$$\angle MAO=\angle MBO=\angle MCO=\alpha.$$

Тогда в прямоугольных треугольниках $$MOA$$, $$MOB$$ и $$MOC$$ получаем равенство соответствующих катетов, откуда

$$OA=OB=OC=R.$$

Значит, точка $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, а потому $$O$$ — середина $$AB$$ и

$$AB=2R.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMB$$. В нём $$MO \perp AB$$, поэтому $$MO$$ — высота к основанию $$AB$$, а углы при основании равны:

$$\angle MAB=\angle MBA=\alpha.$$

Следовательно, $$\angle AMB=180^\circ-2\alpha$$. По теореме синусов в треугольнике $$AMB$$:

$$ \frac{AB}{\sin \angle AMB}=2R $$

то есть

$$ \frac{AB}{\sin(180^\circ-2\alpha)}=2R. $$

Так как $$AB=2$$, а $$\sin(180^\circ-2\alpha)=\sin 2\alpha$$, получаем