Упр.552 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Найдите площадь поверхности и объём шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол $$\alpha$$.

Пусть $$O$$ — центр шара, $$M$$ — вершина пирамиды, а $$ABC$$ — её основание. Так как шар вписан в пирамиду, то его центр равноудалён от всех граней пирамиды, а значит, лежит на высоте пирамиды. Следовательно, $$MO$$ — высота пирамиды.

Основание $$ABC$$ — прямоугольный треугольник, поэтому его гипотенуза $$AB$$ является диаметром описанной окружности. Так как $$AB=2\text{ см}$$, то радиус этой окружности равен $$1\text{ см}$$.

Рассмотрим треугольники $$MOA$$, $$MOB$$ и $$MOC$$. По условию каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол $$\alpha$$, значит

$$\angle MAO=\angle MBO=\angle MCO=\alpha.$$

Треугольники $$MOA$$, $$MOB$$ и $$MOC$$ прямоугольные, у них общий катет $$MO$$ и равные острые углы при основании, поэтому они равны. Отсюда

$$OA=OB=OC=R,$$

где $$R$$ — радиус шара. Значит, $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, а потому $$O$$ — середина $$AB$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$AMB$$. Так как $$MO$$ — высота пирамиды и $$O\in AB$$, то $$MO\perp AB$$. Кроме того, из равенства треугольников $$MOA$$ и $$MOB$$ получаем $$\angle MAB=\angle MBA=\alpha$$. Тогда

$$\angle AMB=180^\circ-2\alpha.$$

По теореме синусов в треугольнике $$AMB$$:

$$\frac{AB}{\sin \angle AMB}=2R$$

то есть

$$\frac{2}{\sin(180^\circ-2\alpha)}=2R.$$

Так как $$\sin(180^\circ-2\alpha)=\sin 2\alpha$$, получаем

$$R=\frac{1}{\sin 2\alpha}.$$

Тогда площадь поверхности шара:

$$S=4\pi R^2=4\pi\cdot \frac{1}{\sin^2 2\alpha}.$$

Объём шара:

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4\pi}{3}\cdot \frac{1}{\sin^3 2\alpha}.$$

Ответ: $$S=\frac{4\pi}{\sin^2 2\alpha}\text{ см}^2,\quad V=\frac{4\pi}{3\sin^3 2\alpha}\text{ см}^3.$$