Упр.551 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В шар вписан конус, радиус основания которого равен $$r$$, а высота равна $$H$$. Найдите площадь поверхности и объем шара.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $$2r$$ и высотой $$H$$. Радиус шара равен радиусу вписанной окружности этого треугольника.
Найдём боковую сторону треугольника:
$$l=\sqrt{H^2+r^2}.$$
Площадь осевого сечения:
$$S=\frac12\cdot 2r\cdot H=rH.$$
Полупериметр треугольника:
$$p=\frac{2l+2r}{2}=l+r.$$
Тогда радиус вписанной окружности равен
$$R=\frac{S}{p}=\frac{rH}{\sqrt{H^2+r^2}+r}.$$
Удобнее воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника:
$$R=\frac{ab c}{4S},$$
где в нашем случае стороны равны $$l,l,2r$$. Тогда
$$R=\frac{l\cdot l\cdot 2r}{4rH}=\frac{l^2}{2H}=\frac{H^2+r^2}{2H}.$$
Теперь найдём площадь поверхности шара:
$$S_{\text{шара}}=4\pi R^2=4\pi\left(\frac{H^2+r^2}{2H}\right)^2=\frac{\pi}{H^2}(H^2+r^2)^2.$$
И объём шара:
$$V_{\text{шара}}=\frac43\pi R^3=\frac43\pi\left(\frac{H^2+r^2}{2H}\right)^3=\frac{\pi}{6H^3}(H^2+r^2)^3.$$
Ответ: $$S_{\text{шара}}=\frac{\pi}{H^2}(H^2+r^2)^2,\quad V_{\text{шара}}=\frac{\pi}{6H^3}(H^2+r^2)^3.$$
