Упр.550 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В шар вписан цилиндр, в котором угол между диагоналями осевого сечения равен $$\alpha$$. Образующая цилиндра равна $$L$$. Найдите объём шара.
Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник со сторонами $$l$$ и $$2R,$$ где $$l$$ — образующая цилиндра, а $$R$$ — радиус шара, вписанного в цилиндр.
Диагонали этого прямоугольника пересекаются в центре шара, поэтому угол между диагоналями равен $$\alpha.$$ Тогда в треугольнике, образованном половинами диагоналей, получаем
$$\frac{l}{\sin \alpha}=\frac{R}{\sin\left(\frac{180^\circ-\alpha}{2}\right)}=\frac{R}{\cos \frac{\alpha}{2}}.$$
Отсюда
$$R=\frac{l\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha}.$$
Так как $$\sin \alpha=2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2},$$ то
$$R=\frac{l}{2\sin \frac{\alpha}{2}}.$$
Теперь найдём объём шара:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3 =\frac{4}{3}\pi \left(\frac{l}{2\sin \frac{\alpha}{2}}\right)^3 =\frac{\pi l^3}{6\sin^3 \frac{\alpha}{2}}.$$
Ответ: $$\frac{\pi l^3}{6\sin^3 \frac{\alpha}{2}}$$.
