Упр.549 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В сферу радиуса $$R$$ вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол $$\alpha$$. Найдите объём цилиндра.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Оно является прямоугольником $$ABCD$$, вписанным в окружность сферы радиуса $$R$$. Диагональ $$BD$$ этого прямоугольника проходит через центр сферы, значит

$$BD=2R.$$

Пусть $$\angle CDB=\alpha$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$BCD$$:

$$BC=BD\cos\alpha=2R\cos\alpha,$$

а высота цилиндра равна

$$h=CD=BD\sin\alpha=2R\sin\alpha.$$

Радиус цилиндра равен половине стороны прямоугольника:

$$r=\frac{BC}{2}=R\cos\alpha.$$

Теперь найдём объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h =\pi (R\cos\alpha)^2\cdot 2R\sin\alpha =2\pi R^3\sin\alpha\cos^2\alpha.$$

Используя формулу $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$, получаем

$$V=\pi R^3\sin 2\alpha\cos\alpha.$$

Ответ: $$V=\pi R^3\sin 2\alpha\cos\alpha.$$