Упр.548 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной $$a$$ и углом $$\alpha$$, вписан шар. Найдите объём шара, если каждая боковая грань пирамиды составляет с основанием угол $$\beta$$.
Обозначим через $$H$$ центр вписанной в ромб $$ABCD$$ окружности, а через $$O$$ — центр вписанного шара. Тогда $$MH$$ — высота пирамиды.
Пусть $$HP \perp DC$$ и $$HT \perp AD$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$MP \perp DC$$ и $$MT \perp AD$$. Следовательно, угол между боковой гранью и основанием равен линейному углу двугранного угла, то есть
$$\angle MTH=\angle MPH=\beta.$$
Треугольники $$MHT$$ и $$MHP$$ прямоугольные, у них общий катет $$MH$$ и равные острые углы при вершинах $$T$$ и $$P$$, значит они равны. Отсюда
$$HT=HP=r,$$
где $$r$$ — радиус вписанной в ромб окружности.
Найдём $$r$$. Площадь ромба:
$$S_{ABCD}=a^2\sin\alpha.$$
С другой стороны, для четырёхугольника с вписанной окружностью
$$S_{ABCD}=r\cdot p,$$
где $$p$$ — полупериметр. Так как $$p=2a$$, то
$$a^2\sin\alpha=2ar,$$
откуда
$$r=\frac{a\sin\alpha}{2}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OHP$$. Поскольку $$OP$$ — биссектриса угла $$\beta$$, имеем
$$\angle HPO=\frac{\beta}{2}.$$
Тогда
$$\tan\frac{\beta}{2}=\frac{OH}{HP},$$
следовательно,
$$OH=HP\tan\frac{\beta}{2}=r\tan\frac{\beta}{2}=\frac{a\sin\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}.$$
Радиус шара равен $$R=OH$$, поэтому
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a\sin\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}\right)^3.$$
После упрощения получаем
$$V=\frac{\pi}{6}a^3\sin^3\alpha\cdot\tan^3\frac{\beta}{2}.$$
Ответ
$$\frac{\pi}{6}a^3\sin^3\alpha\cdot\tan^3\frac{\beta}{2}$$
