Упр.548 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом а, вписан шар. Найдите объем шара, если каждая боковая грань пирамиды составляет с основанием угол р.

Подробный ответ

Пусть $$MH$$ — высота пирамиды, а $$H$$ — центр вписанной в основание окружности. Тогда в ромбе $$ABCD$$ точка $$H$$ равноудалена от всех сторон.

Проведём в основании перпендикуляры $$HP \perp DC$$ и $$HT \perp AD$$. Так как каждая боковая грань составляет с основанием угол $$\beta$$, то в соответствующих сечениях получаем

$$\angle MTH=\angle MPH=\beta.$$

Треугольники $$MHT$$ и $$MHP$$ прямоугольные, у них общий катет $$MH$$ и равные острые углы, значит они равны. Отсюда

$$HT=HP=r,$$

где $$r$$ — радиус вписанной в ромб окружности.

Найдём $$r$$. Площадь ромба:

$$S_{ABCD}=a^2\sin\alpha.$$

С другой стороны, для ромба

$$S_{ABCD}=4\cdot S_{HCD}=4\cdot \frac12\cdot CD\cdot HP=2a\cdot HP.$$

Следовательно,

$$a^2\sin\alpha=2a\cdot HP,$$

откуда

$$HP=\frac{a\sin\alpha}{2}.$$

В треугольнике $$MHP$$ биссектриса угла $$\beta$$ проходит через центр вписанного шара, поэтому

$$\angle HPO=\angle OPM=\frac{\beta}{2}.$$

Треугольник $$HPO$$ прямоугольный, значит

$$\tan\frac{\beta}{2}=\frac{OH}{HP},$$

откуда радиус шара

$$R=OH=HP\tan\frac{\beta}{2}=\frac{a\sin\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}.$$

Тогда объём шара равен

$$ V=\frac{4}{3}\pi R^3 =\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a\sin\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}\right)^3 =\frac{\pi}{6}a^3\sin^3\alpha\cdot\tan^3\frac{\beta}{2}. $$