Упр.547 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом $$\alpha$$ при основании вписан шар объёма $$V$$. Найдите объём пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим через $$r$$ радиус вписанного шара. Тогда

$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi r^3=V,$$
откуда
$$r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}.$$

Пусть $$H$$ — основание высоты пирамиды, а $$T$$ — точка касания шара с боковой гранью. Тогда линейный угол двугранного угла при основании равен $$\angle MTA=\alpha$$, а в сечении плоскостью, перпендикулярной ребру основания, получаем прямоугольный треугольник, в котором

$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{HT}.$$

Значит,

$$HT=\frac{r}{\tan\frac{\alpha}{2}}.$$

В правильном треугольнике со стороной $$a$$ радиус вписанной окружности основания равен

$$HT=\frac{a}{2\sqrt{3}},$$

поэтому

$$a=2\sqrt{3}\,HT=\frac{2\sqrt{3}\,r}{\tan\frac{\alpha}{2}}.$$

Высота пирамиды находится из того же сечения:

$$\tan\alpha=\frac{r}{MH},$$
откуда
$$MH=\frac{r}{\tan\alpha}.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V_{\text{пир}}=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\,MH,$$
где
$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Подставим найденное $$a$$:

$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{2\sqrt{3}\,r}{\tan\frac{\alpha}{2}}\right)^2 =\frac{3\sqrt{3}\,r^2}{\tan^2\frac{\alpha}{2}}.$$

Тогда

$$V_{\text{пир}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}\,r^2}{\tan^2\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{r}{\tan\alpha} =\sqrt{3}\,r^3\cdot \frac{1}{\tan\alpha\,\tan^2\frac{\alpha}{2}}.$$

Так как $$r^3=\dfrac{3V}{4\pi}$$, получаем

$$V_{\text{пир}}=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\,\tg\alpha\cdot \ctg^3\frac{\alpha}{2}\cdot V.$$