Упр.547 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильную треугольную пирамиду с двугранным углом ос при основании вписан шар объема V. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим через $$r$$ радиус вписанного шара, а через $$h$$ — высоту пирамиды. Тогда центр шара лежит на высоте пирамиды, и для сечения плоскостью, проходящей через высоту и перпендикулярной ребру основания, получаем прямоугольный треугольник, в котором угол между боковой гранью и основанием равен $$\alpha$$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и высоту. В этом сечении расстояние от центра шара до боковой грани равно $$r$$, а расстояние от центра до основания тоже равно $$r$$. Поэтому в соответствующем прямоугольном треугольнике

$$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{r}{x},$$

где $$x$$ — расстояние от центра шара до стороны основания. Для правильного треугольника со стороной $$a$$ это расстояние равно радиусу вписанной окружности основания:

$$x=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{r}{\tan \frac{\alpha}{2}},$$

откуда

$$a=\frac{2\sqrt{3}\,r}{\tan \frac{\alpha}{2}}.$$

Теперь найдём высоту пирамиды. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды и отрезком до точки касания шара с боковой гранью, имеем

$$\tan \alpha=\frac{h-r}{x}.$$

Так как $$x=\dfrac{r}{\tan \frac{\alpha}{2}}$$, то

$$h-r=\frac{r\tan \alpha}{\tan \frac{\alpha}{2}},$$

и, следовательно,

$$h=r\left(1+\frac{\tan \alpha}{\tan \frac{\alpha}{2}}\right).$$

Объём пирамиды:

$$V_{\text{пир}}=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h.$$

Площадь основания правильной треугольной пирамиды:

$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{2\sqrt{3}\,r}{\tan \frac{\alpha}{2}}\right)^2=\frac{3\sqrt{3}\,r^2}{\tan^2 \frac{\alpha}{2}}.$$

Тогда

$$V_{\text{пир}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}\,r^2}{\tan^2 \frac{\alpha}{2}}\cdot r\left(1+\frac{\tan \alpha}{\tan \frac{\alpha}{2}}\right).$$

Используя формулу

$$\tan \alpha=\frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2 \frac{\alpha}{2}},$$

получаем после упрощения

$$V_{\text{пир}}=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\,\tan \alpha\cdot \cot^3 \frac{\alpha}{2}\cdot V,$$

так как

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3.$$