Упр.546 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B усеченный конус, радиусы оснований которого равны r и r,, вписан шар. Найдите отношение объемов усеченного конуса и шара.

Подробный ответ

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса через $$r$$ и $$r_1$$, а радиус вписанного шара — через $$R$$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность радиуса $$R$$. Высота трапеции равна диаметру этой окружности, значит

$$h=2R.$$

Тогда объём усечённого конуса равен

$$ V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi h\,(r^2+r_1^2+rr_1) =\frac{1}{3}\pi\cdot 2R\,(r^2+r_1^2+rr_1). $$

Теперь найдём $$R$$. В осевом сечении сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, так как в четырёхугольник, описанный около окружности, можно вписать окружность:

$$AD+BC=AB+CD.$$

Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$, а также $$AD=2r$$, $$BC=2r_1$$. Следовательно,

$$2AB=2r+2r_1,$$

откуда

$$AB=r+r_1.$$

Пусть $$BT\perp AD$$. Тогда $$BT=h=2R$$, а в прямоугольном треугольнике $$ABT$$ имеем

$$AT=\frac{AD-BC}{2}=r-r_1.$$

По теореме Пифагора:

$$ (2R)^2=AB^2-AT^2=(r+r_1)^2-(r-r_1)^2=4rr_1. $$

Значит,

$$R^2=rr_1.$$

Тогда

$$ V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3. $$

Искомое отношение:

$$ \frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{\frac{1}{3}\pi\cdot 2R\,(r^2+r_1^2+rr_1)}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^2+r_1^2+rr_1}{2R^2} = \frac{r^2+r_1^2+rr_1}{2rr_1}. $$