Упр.546 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В усечённый конус, радиусы оснований которого равны $$r$$ и $$R$$, вписан шар. Найдите отношение объёмов усечённого конуса и шара.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно является равнобедренной трапецией, в которую вписана окружность — сечение шара.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса через $$r$$ и $$r_1$$, а радиус шара через $$R$$.

Так как шар вписан в усечённый конус, его центр лежит на оси конуса, а высота усечённого конуса равна диаметру шара:

$$h=2R.$$

Объём усечённого конуса равен

$$V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi h\left(r^2+r_1^2+rr_1\right)=\frac{2}{3}\pi R\left(r^2+r_1^2+rr_1\right).$$

Найдём радиус шара. В осевом сечении трапеции сумма противоположных сторон равна сумме других двух сторон, поэтому для боковой стороны $$l$$ имеем

$$2l=2r+2r_1,\qquad l=r+r_1.$$

Пусть $$AB$$ — боковая сторона трапеции, а $$AK=r-r_1$$ — разность оснований по горизонтали. Тогда в прямоугольном треугольнике

$$R^2=l^2-(r-r_1)^2=(r+r_1)^2-(r-r_1)^2=4rr_1,$$

откуда

$$R=\sqrt{rr_1}.$$

Тогда объём шара:

$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (rr_1)^{3/2}.$$

Искомое отношение:

$$\frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{\frac{2}{3}\pi R\left(r^2+r_1^2+rr_1\right)}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^2+r_1^2+rr_1}{2R^2} = \frac{r^2+r_1^2+rr_1}{2rr_1}.$$

Ответ

$$\frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{шара}}}=\frac{r^2+r_1^2+rr_1}{2rr_1}.$$