Упр.545 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В конус, радиус основания которого равен $$r$$, а образующая равна $$1$$, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Пусть $$M$$ — вершина конуса, $$O$$ — центр вписанной сферы, $$H$$ — центр основания конуса, $$A$$ и $$B$$ — концы диаметра основания, $$D$$ и $$C$$ — точки касания сферы с образующими конуса.

Тогда $$MB$$ — высота конуса, $$MA=MB=l=1$$, $$HA=HB=r$$. Обозначим через $$c$$ длину линии касания сферы с боковой поверхностью конуса.

Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через ось $$MH$$. В этом сечении получаем равнобедренный треугольник $$MAB$$, а окружность сечения сферы касается его сторон.

Из прямоугольного треугольника $$AHO$$:

$$\tan \angle OAH=\frac{HO}{AH},$$

откуда

$$HO=r\tan \angle OAH.$$

Так как $$AO$$ — биссектриса угла $$\angle MAB$$, то

$$\angle MAB=2\angle OAH.$$

В прямоугольном треугольнике $$AMH$$:

$$\cos(2\angle OAH)=\frac{AH}{AM}=\frac{r}{l}.$$

Тогда

$$\cos^2\angle OAH=\frac{r+l}{2l},$$

$$\sin^2\angle OAH=\frac{l-r}{2l},$$

и потому

$$\tan \angle OAH=\sqrt{\frac{l-r}{l+r}}.$$

Следовательно, радиус окружности касания сферы с боковой поверхностью конуса равен

$$DK=AO\sin \angle OAH\cos \angle OAH.$$

Так как $$AO=r$$, то

$$DK=r\sqrt{\frac{l-r}{l+r}}\cdot \sqrt{\frac{l+r}{2l}}\cdot \sqrt{\frac{l-r}{2l}}=\frac{r(l-r)}{l}.$$

Искомая линия касания — окружность радиуса $$DK$$, поэтому

$$c=2\pi \cdot DK=2\pi r\frac{l-r}{l}.$$

Так как $$l=1$$, получаем

$$c=2\pi r(1-r).$$

Ответ: $$2\pi r\frac{l-r}{l}$$, при $$l=1$$: $$2\pi r(1-r)$$.