Упр.544 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите объем конуса, если радиус его основания равен $$6\ \text{дм}$$, а радиус вписанной в конус сферы равен $$3\ \text{дм}$$.
Обозначим радиус основания конуса через $$R=6$$ дм, а радиус вписанной сферы через $$r=3$$ дм. Пусть $$h$$ — высота конуса.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно является равнобедренным треугольником с основанием $$2R$$ и высотой $$h$$, а вписанная в конус сфера в сечении даёт вписанную окружность радиуса $$r$$.
Для такого треугольника радиус вписанной окружности равен
$$r=\frac{S}{p},$$
где $$S$$ — площадь треугольника, $$p$$ — его полупериметр.
Пусть $$l$$ — образующая конуса. Тогда
$$S=\frac12\cdot 2R\cdot h=Rh,$$
$$p=R+l.$$
Кроме того, из прямоугольного треугольника с катетами $$h$$ и $$R$$ имеем
$$l=\sqrt{h^2+R^2}.$$
Тогда
$$r=\frac{Rh}{R+\sqrt{h^2+R^2}}.$$
Подставим $$R=6$$ и $$r=3$$:
$$3=\frac{6h}{6+\sqrt{h^2+36}}.$$
Решим уравнение:
$$18+3\sqrt{h^2+36}=6h,$$
$$3\sqrt{h^2+36}=6h-18,$$
$$\sqrt{h^2+36}=2h-6.$$
Возведём в квадрат:
$$h^2+36=4h^2-24h+36,$$
$$3h^2-24h=0,$$
$$3h(h-8)=0.$$
Так как $$h>0$$, получаем $$h=8$$ дм.
Теперь найдём объём конуса:
$$V=\frac13\pi R^2h=\frac13\pi\cdot 6^2\cdot 8=96\pi.$$
Ответ: $$96\pi\ \text{дм}^3$$.
