Упр.542 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды является ромб со стороной $$a$$ и острым углом $$\varphi$$. В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол $$0$$. Найдите объём конуса.
Пусть $$H$$ — центр ромба $$ABCD$$, а $$P$$ — вершина пирамиды. Тогда $$PH$$ — высота пирамиды, а радиус основания вписанного конуса равен расстоянию от точки $$H$$ до стороны ромба, то есть $$r=HP_1$$, где $$P_1$$ — основание перпендикуляра к стороне ромба.
Площадь ромба:
$$S_{ABCD}=a^2\sin\varphi.$$
Так как в ромб можно вписать окружность, то её радиус равен половине высоты ромба:
$$S_{ABCD}=r\cdot \frac{P_{ABCD}}{2}=r\cdot 2a,$$
откуда
$$r=\frac{a\sin\varphi}{2}.$$
Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол $$\theta$$, значит в прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, радиусом основания и образующей,
$$\tan\theta=\frac{h}{r},$$
следовательно
$$h=r\tan\theta=\frac{a\sin\varphi}{2}\tan\theta.$$
Теперь найдём объём конуса:
$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$$
$$V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{a\sin\varphi}{2}\right)^2\cdot \frac{a\sin\varphi}{2}\tan\theta$$
$$V=\frac{\pi a^3}{24}\sin^3\varphi\cdot \tan\theta.$$
Ответ
$$V=\frac{\pi a^3}{24}\sin^3\varphi\cdot \tan\theta.$$
