Упр.541 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна $$a$$, а острый угол между его диагоналями равен $$\varphi_1$$. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол $$\varphi_2$$. Найдите объём конуса.

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — центр основания конуса, а $$P$$ — точка касания высоты пирамиды с плоскостью основания. Тогда $$PH \perp AD$$, а значит, по теореме о трёх перпендикулярах $$MP \perp AD$$. Линейный угол двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания равен $$\varphi_2$$, поэтому

$$\tan \varphi_2=\frac{MH}{HP}, \qquad MH=HP\cdot \tan \varphi_2.$$

Так как основание пирамиды — прямоугольник, его диагонали пересекаются и делятся пополам. Обозначим через $$O$$ точку их пересечения. Тогда $$O$$ — центр прямоугольника, а значит, и центр основания конуса. Из условия про острый угол между диагоналями прямоугольника получаем для треугольника с половинами диагоналей:

$$\angle AOH=90^\circ-\frac{\varphi_1}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ имеем

$$AH=\frac{a}{2\sin \frac{\varphi_1}{2}}.$$

Тогда

$$HP=AH\cos \frac{\varphi_1}{2}=\frac{a}{2\tan \frac{\varphi_1}{2}}.$$

Следовательно, высота конуса

$$MH=HP\cdot \tan \varphi_2=\frac{a\tan \varphi_2}{2\tan \frac{\varphi_1}{2}}.$$

Радиус основания конуса равен половине диагонали прямоугольника:

$$r=AH=\frac{a}{2\sin \frac{\varphi_1}{2}}.$$

Теперь найдём объём конуса:

$$V=\frac{1}{3}\pi r^2 MH =\frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2\sin \frac{\varphi_1}{2}}\right)^2 \cdot \frac{a\tan \varphi_2}{2\tan \frac{\varphi_1}{2}}.$$

После упрощения получаем

$$V=\frac{\pi a^3\tan \varphi_2}{24\sin^2 \frac{\varphi_1}{2}\tan \frac{\varphi_1}{2}}.$$