Упр.54 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- а) Докажите, что плоскости $$MNP$$ и $$ADC$$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $$MNP$$, если площадь треугольника $$ADC$$ равна $$48\ \text{см}^2$$.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины отрезков $$BA$$ и $$BC$$, то $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,
$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac{AC}{2}.$$
Аналогично, в треугольнике $$BCD$$ точки $$N$$ и $$P$$ — середины отрезков $$BC$$ и $$BD$$, значит $$NP$$ — средняя линия этого треугольника. Тогда
$$NP \parallel CD,\qquad NP=\frac{CD}{2}.$$
Кроме того, в треугольнике $$ABD$$ точки $$M$$ и $$P$$ — середины отрезков $$BA$$ и $$BD$$, поэтому
$$MP \parallel AD,\qquad MP=\frac{AD}{2}.$$
Итак, в плоскости $$MNP$$ лежат прямые $$MN$$ и $$NP$$, параллельные соответственно прямым $$AC$$ и $$CD$$ плоскости $$ADC$$. Поскольку прямые $$AC$$ и $$CD$$ пересекаются, то по признаку параллельности плоскостей
$$MNP \parallel ADC.$$
Теперь найдём площадь треугольника $$MNP$$. Треугольники $$MNP$$ и $$ADC$$ подобны, причём коэффициент подобия
$$k=\frac{MN}{AC}=\frac{1}{2}.$$
Тогда отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{MNP}}{S_{ADC}}=k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.$$
Следовательно,
$$S_{MNP}=S_{ADC}\cdot \frac{1}{4}=48\cdot \frac{1}{4}=12\ \text{см}^2.$$
Ответ: $$MNP \parallel ADC$$, $$S_{MNP}=12\ \text{см}^2$$.
