Упр.538 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объем цилиндра, если: а) площадь боковой поверхности равна $$S$$, а площадь основания равна $$Q$$; б) осевое сечение является квадратом, а высота равна $$h$$; в) осевое сечение является квадратом, а площадь полной поверхности равна $$S$$.

Обозначим радиус основания цилиндра через $$r$$, а высоту — через $$h$$. Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\pi rh,\qquad S_{\text{осн}}=\pi r^2,\qquad V=\pi r^2h.$$

а)

Из условия $$S_{\text{бок}}=S$$ и $$S_{\text{осн}}=Q$$ получаем

$$2\pi rh=S,\qquad \pi r^2=Q.$$

Из второго равенства

$$r=\sqrt{\frac{Q}{\pi}}.$$

Тогда

$$h=\frac{S}{2\pi r}=\frac{S}{2\pi\sqrt{Q/\pi}}=\frac{S}{2\sqrt{\pi Q}}.$$

Следовательно,

$$V=\pi r^2h=Q\cdot \frac{S}{2\sqrt{\pi Q}}=\frac{S}{2}\sqrt{\frac{Q}{\pi}}.$$

б)

Если осевое сечение — квадрат, то его сторона равна высоте цилиндра и одновременно диаметру основания. Значит,

$$h=2r,\qquad r=\frac{h}{2}.$$

Тогда

$$V=\pi r^2h=\pi\left(\frac{h}{2}\right)^2h=\frac{\pi h^3}{4}.$$

в)

Если осевое сечение — квадрат, то снова $$h=2r$$. Полная поверхность цилиндра равна

$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Подставим $$h=2r$$:

$$S=2\pi r^2+4\pi r^2=6\pi r^2,$$

откуда

$$r=\sqrt{\frac{S}{6\pi}}.$$

Тогда

$$V=\pi r^2h=\pi\cdot \frac{S}{6\pi}\cdot 2\sqrt{\frac{S}{6\pi}}=\frac{S}{6}\sqrt{\frac{2S}{3\pi}}.$$

Ответ: а) $$\frac{S}{2}\sqrt{\frac{Q}{\pi}}$$; б) $$\frac{\pi h^3}{4}$$; в) $$\frac{S}{6}\sqrt{\frac{2S}{3\pi}}$$.