Упр.538 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем цилиндра, если: а) площадь боковой поверхности равна S, а площадь основания равна Q; б) осевое сечение является квадратом, а высота равна h; в) осевое сечение является квадратом, а площадь полной поверхности равна S.
Обозначим радиус основания цилиндра через $$r$$, высоту — через $$h$$.
Тогда площадь основания равна $$S_{\text{осн}}=\pi r^2$$, площадь боковой поверхности — $$S_{\text{бок}}=2\pi rh$$, а объём цилиндра:
$$V=\pi r^2h.$$
а) Дано $$S_{\text{бок}}=S$$ и $$S_{\text{осн}}=Q$$.
Из $$S_{\text{осн}}=\pi r^2=Q$$ получаем
$$r=\sqrt{\frac{Q}{\pi}}.$$
Из $$S_{\text{бок}}=2\pi rh=S$$ находим
$$h=\frac{S}{2\pi r}=\frac{S}{2\pi\sqrt{Q/\pi}}.$$
Тогда
$$V=\pi r^2h=Q\cdot \frac{S}{2\pi\sqrt{Q/\pi}}=\frac{S}{2}\sqrt{\frac{Q}{\pi}}.$$
б) Осевое сечение — квадрат, а высота равна $$h$$.
В осевом сечении стороны равны $$h$$ и $$2r$$, значит
$$h=2r,\qquad r=\frac{h}{2}.$$
Тогда
$$V=\pi r^2h=\pi\left(\frac{h}{2}\right)^2h=\frac{\pi h^3}{4}.$$
в) Осевое сечение — квадрат, а площадь полной поверхности равна $$S$$.
Из условия квадрата осевого сечения имеем $$h=2r$$. Площадь полной поверхности цилиндра:
$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$
Подставим $$h=2r$$:
$$S=2\pi r^2+4\pi r^2=6\pi r^2,$$
откуда
$$r=\sqrt{\frac{S}{6\pi}}.$$
Теперь найдём объём:
$$V=\pi r^2h=\pi\cdot \frac{S}{6\pi}\cdot 2\sqrt{\frac{S}{6\pi}}=\frac{S}{6}\sqrt{\frac{2S}{3\pi}}.$$
Ответ
$$\text{а) }V=\frac{S}{2}\sqrt{\frac{Q}{\pi}};\qquad \text{б) }V=\frac{\pi h^3}{4};\qquad \text{в) }V=\frac{S}{6}\sqrt{\frac{2S}{3\pi}}.$$