Упр.537 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B усеченной пирамиде соответственные стороны оснований относятся как 2 : 5. B каком отношении делится ее объем плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамиды параллельно основаниям?

Подробный ответ

Пусть площади оснований усечённой пирамиды равны $$S_1$$ и $$S_2$$, где $$S_1$$ — площадь нижнего основания, $$S_2$$ — площадь верхнего основания. Так как соответственные стороны оснований относятся как $$2:5$$, то площади оснований относятся как квадраты соответствующих сторон:

$$ \frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}. $$

Плоскость проходит через середину высоты и параллельна основаниям, значит, она делит высоту пирамиды пополам. Следовательно, верхняя часть усечённой пирамиды и вся усечённая пирамида подобны, а линейный коэффициент подобия равен $$\frac{1}{2}$$. Поэтому площади соответствующих сечений относятся как

$$ \frac{S}{S_1}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}, $$

то есть площадь сечения равна

$$ S=\frac{1}{4}S_1. $$

Обозначим объём верхней части через $$V_{\text{верх}}$$, а объём нижней части через $$V_{\text{низ}}$$. Тогда, используя формулу объёма усечённой пирамиды как разность объёмов двух подобных пирамид, получаем:

$$ V_{\text{верх}}=\frac{h}{3}\left(S+\sqrt{SS_2}+S_2\right), $$

$$ V_{\text{низ}}=\frac{h}{3}\left(S_1+\sqrt{SS_1}+S\right). $$

Подставим $$S=\frac{1}{4}S_1$$ и $$S_2=\frac{4}{25}S_1$$:

$$ V_{\text{верх}}=\frac{h}{3}\left(\frac{1}{4}S_1+\sqrt{\frac{1}{4}S_1\cdot \frac{4}{25}S_1}+\frac{4}{25}S_1\right) $$

$$ =\frac{h}{3}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{4}{25}\right)S_1 =\frac{h}{3}\cdot \frac{41}{100}S_1. $$

Аналогично

$$ V_{\text{низ}}=\frac{h}{3}\left(S_1+\sqrt{\frac{1}{4}S_1\cdot S_1}+\frac{1}{4}S_1\right) =\frac{h}{3}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)S_1 =\frac{h}{3}\cdot \frac{7}{4}S_1. $$

Тогда

$$ \frac{V_{\text{верх}}}{V_{\text{низ}}} = \frac{\frac{41}{100}}{\frac{7}{4}} = \frac{41}{175}. $$

Значит, плоскость делит объём усечённой пирамиды в отношении $$41:175$$.