Упр.537 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В усечённой пирамиде соответственные стороны оснований относятся как $$2:5$$. В каком отношении делится её объём плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамиды параллельно основаниям?
Пусть стороны оснований усечённой пирамиды относятся как $$2:5$$. Тогда площади оснований относятся как квадраты соответствующих сторон:
$$\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25},$$
где $$S_1$$ — площадь меньшего основания, $$S_2$$ — площадь большего основания.
Плоскость проходит через середину высоты и параллельна основаниям, значит, она делит высоту усечённой пирамиды пополам. Следовательно, получаются две усечённые пирамиды одинаковой высоты, а площади их соответствующих сечений изменяются линейно по высоте. Для объёма усечённой пирамиды используется формула
$$V=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right).$$
Обозначим через $$V_{\text{верх}}$$ объём части у меньшего основания, а через $$V_{\text{низ}}$$ — объём части у большего основания. Тогда для средней плоскости площадь сечения равна среднему геометрическому площадей оснований соответствующей части, и
$$\frac{V_{\text{верх}}}{V_{\text{низ}}} = \frac{S_1+\sqrt{S_1S_2}}{S_2+\sqrt{S_1S_2}}.$$
Подставим $$S_1=\frac{4}{25}S_2$$:
$$\sqrt{S_1S_2}=\sqrt{\frac{4}{25}S_2^2}=\frac{2}{5}S_2.$$
Тогда
$$\frac{V_{\text{верх}}}{V_{\text{низ}}} = \frac{\frac{4}{25}S_2+\frac{2}{5}S_2}{S_2+\frac{2}{5}S_2} = \frac{\frac{14}{25}}{\frac{7}{5}} = \frac{14}{25}\cdot\frac{5}{7} = \frac{2}{5}.$$
Значит, объём делится в отношении
$$V_{\text{верх}}:V_{\text{низ}}=2:5.$$
Ответ
$$2:5$$
