Упр.536 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Два ребра тетраэдра равны $$b$$, а остальные четыре ребра равны $$a$$. Найдите объём тетраэдра, если рёбра длины $$b$$: а) имеют общие точки; б) не имеют общих точек.

Рассмотрим тетраэдр с двумя рёбрами длины $$b$$ и четырьмя рёбрами длины $$a$$.

а) Рёбра длины $$b$$ имеют общую точку

Пусть эти рёбра — $$AB$$ и $$AC$$, тогда $$AB=AC=b$$, а остальные рёбра равны $$a$$:
$$BC=AD=BD=CD=a.$$

Обозначим через $$H$$ проекцию точки $$D$$ на плоскость $$ABC$$. Так как $$AD=BD=CD$$, точка $$H$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, а значит, $$AH=R$$, где $$R$$ — радиус этой окружности.

В треугольнике $$ABC$$ по формуле Герона или через высоту к стороне $$BC$$ получаем:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AP=\frac{a}{2}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}.$$

Для радиуса описанной окружности:
$$R=\frac{abc}{4S_{ABC}}=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}.$$

Тогда высота тетраэдра:
$$DH=\sqrt{a^2-R^2} =\sqrt{a^2-\frac{b^4}{4b^2-a^2}} =\sqrt{\frac{4a^2b^2-a^4-b^4}{4b^2-a^2}}.$$

Объём тетраэдра:
$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot DH =\frac13\cdot \frac{a}{2}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\cdot \sqrt{\frac{4a^2b^2-a^4-b^4}{4b^2-a^2}}.$$

После упрощения:
$$V=\frac{a}{12}\sqrt{4a^2b^2-a^4-b^4}.$$

б) Рёбра длины $$b$$ не имеют общих точек

Пусть $$AB=CD=b$$, а остальные рёбра равны $$a$$:
$$AC=AD=BC=BD=a.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Он равнобедренный, так как $$AC=BC=a$$. Пусть $$K$$ — середина $$AB$$. Тогда $$CK$$ — высота треугольника $$ABC$$:
$$CK=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}=\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2}.$$

Площадь основания:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CK =\frac12\cdot b\cdot \frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2} =\frac{b\sqrt{4a^2-b^2}}{4}.$$

Так как $$AD=BD$$, точка $$D$$ лежит в плоскости, перпендикулярной $$AB$$ и проходящей через середину $$AB$$. Аналогично для точки $$C$$. Поэтому проекция высоты тетраэдра проходит через середину $$AB$$, и в равнобедренном треугольнике $$DAB$$ получаем:
$$DK=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}=\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике с катетами, выражающими расстояния до плоскости основания, высота тетраэдра равна
$$H=\frac{b\sqrt{4a^2-2b^2}}{\sqrt{4a^2-b^2}}.$$

Тогда объём:
$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot H =\frac13\cdot \frac{b\sqrt{4a^2-b^2}}{4}\cdot \frac{b\sqrt{4a^2-2b^2}}{\sqrt{4a^2-b^2}} =\frac{b^2}{12}\sqrt{4a^2-2b^2}.$$

Ответ

а) $$V=\frac{a}{12}\sqrt{4a^2b^2-a^4-b^4}$$; б) $$V=\frac{b^2}{12}\sqrt{4a^2-2b^2}$$.