Упр.536 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Два ребра тетраэдра равны b, а остальные четыре ребра равны а. Найдите объем тетраэдра, если ребра длины b: а) имеют общие точки; б) не имеют общих точек.

Подробный ответ

а) Рёбра длины $$b$$ имеют общую точку.

Пусть $$AB=AC=b$$, а остальные рёбра равны $$a$$. Тогда $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, а точка $$H$$ — проекция вершины $$M$$ на плоскость основания.

Обозначим $$BC=a$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ высота $$AP$$, опущенная на $$BC$$, является и медианой, поэтому

$$ AP=\sqrt{AB^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}. $$

Площадь основания:

$$ S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AP =\frac12\cdot a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}. $$

Так как $$MA=MB=MC=a$$, то точка $$H$$ равноудалена от $$A,B,C$$, значит $$H$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$AH=R$$, где $$R$$ — радиус описанной окружности:

$$ R=\frac{abc}{4S_{ABC}}. $$

Здесь $$a,b,c$$ — стороны треугольника $$ABC$$, то есть $$a=BC,\; b=CA,\; c=AB$$. Поэтому

$$ AH=R=\frac{a\cdot b\cdot b}{4S_{ABC}} =\frac{ab^2}{4\cdot \frac12 a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}} =\frac{b^2}{2\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}}. $$

Теперь найдём высоту тетраэдра:

$$ MH=\sqrt{MA^2-AH^2} =\sqrt{a^2-\frac{b^4}{4\left(b^2-\frac{a^2}{4}\right)}} =\sqrt{\frac{4a^2b^2-a^4-b^4}{4b^2-a^2}}. $$

Тогда объём тетраэдра равен

$$ V=\frac13 S_{ABC}\cdot MH =\frac13\cdot \frac12 a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\cdot \sqrt{\frac{4a^2b^2-a^4-b^4}{4b^2-a^2}}. $$

После упрощения получаем

$$ V=\frac{a}{12}\sqrt{4a^2b^2-a^4-b^4}. $$

б) Рёбра длины $$b$$ не имеют общих точек.

Пусть теперь $$AB=CD=b$$, а остальные рёбра равны $$a$$. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Он равнобедренный, так как $$AC=BC=a$$, а $$AB=b$$.

Пусть $$K$$ — середина $$AB$$. Тогда $$CK$$ — высота треугольника $$ABC$$:

$$ CK=\sqrt{AC^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}} =\frac12\sqrt{4a^2-b^2}. $$

Площадь основания:

$$ S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CK =\frac12\cdot b\cdot \frac12\sqrt{4a^2-b^2} =\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}. $$

Так как $$DA=DB=DC=a$$, то проекция вершины $$D$$ на плоскость $$ABC$$ лежит на перпендикуляре к плоскости, проходящем через центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Обозначим эту проекцию через $$O$$. Тогда $$OA=OB=OC$$.

Для равнобедренного треугольника $$ABC$$ центр описанной окружности лежит на высоте $$CK$$, поэтому

$$ OK=\frac{b^2}{4\sqrt{4a^2-b^2}}. $$

Из прямоугольного треугольника $$DOK$$:

$$ DK=\sqrt{a^2-OK^2} =\sqrt{a^2-\frac{b^4}{16a^2-4b^2}} =\frac{\sqrt{4a^2-2b^2}}{2}. $$

Тогда высота тетраэдра

$$ H=DO=\frac{b\sqrt{4a^2-2b^2}}{\sqrt{4a^2-b^2}}. $$

Следовательно, объём равен

$$ V=\frac13 S_{ABC}\cdot H =\frac13\cdot \frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}\cdot \frac{b\sqrt{4a^2-2b^2}}{\sqrt{4a^2-b^2}} =\frac{b^2}{12}\sqrt{4a^2-2b^2}. $$