Упр.535 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является ромб со стороной $$a$$. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют тупой двугранный угол $$\varphi$$. Две другие боковые грани составляют с плоскостью основания двугранные углы $$\theta$$. Найдите объём пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$M$$ — вершина пирамиды, а $$MB$$ — её высота, $$B$$ — основание высоты на плоскости основания.

Рассмотрим линейный угол двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания. Тогда для двух граней, перпендикулярных основанию, получаем, что соответствующие линейные углы равны $$180^\circ-\varphi$$, а для двух других граней линейные углы равны $$\theta$$.

Проведём в основании перпендикуляры $$BT\perp AD$$ и $$BP\perp CD$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$MT\perp AD$$ и $$MP\perp CD$$.

Так как $$\angle MTB=\angle MPB=\theta$$, а $$BM$$ — общий катет, то прямоугольные треугольники $$\triangle BMT$$ и $$\triangle BMP$$ равны, откуда

$$TB=PB=a\sin(180^\circ-\varphi)=a\sin\varphi.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle BMT$$ имеем

$$\frac{MB}{BT}=\tan\theta,$$

значит

$$MB=BT\cdot\tan\theta=a\sin\varphi\cdot\tan\theta.$$

Найдём площадь основания пирамиды. Основание — ромб со стороной $$a$$ и углом $$\angle BAD=180^\circ-\varphi$$, поэтому

$$S_{\text{осн}}=a^2\sin(180^\circ-\varphi)=a^2\sin\varphi.$$

Теперь объём пирамиды:

$$V=\frac13 S_{\text{осн}}\cdot MB =\frac13 \cdot a^2\sin\varphi \cdot a\sin\varphi\cdot\tan\theta =\frac13 a^3\sin^2\varphi\cdot\tan\theta.$$