Упр.534 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием четырехугольной пирамиды, высота которой равна H, является параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом а. Попарно равные противоположные боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания углы P и у. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — основание высоты пирамиды, $$MH=h$$. Обозначим через $$\alpha$$ угол между диагоналями параллелограмма основания, через $$\beta$$ и $$\gamma$$ — углы, которые попарно равные боковые рёбра образуют с плоскостью основания.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$MHB$$ и $$MHA$$:

$$\frac{MH}{HB}=\tg\gamma,\qquad \frac{MH}{HA}=\tg\beta.$$

Отсюда

$$HB=\frac{h}{\tg\gamma},\qquad HA=\frac{h}{\tg\beta}.$$

Так как $$H$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма, то

$$BD=2HB=\frac{2h}{\tg\gamma},\qquad AC=2HA=\frac{2h}{\tg\beta}.$$

Площадь основания пирамиды равна площади параллелограмма:

$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\,AC\cdot BD\cdot \sin\alpha.$$

Подставим найденные выражения:

$$ S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2h}{\tg\beta}\cdot \frac{2h}{\tg\gamma}\cdot \sin\alpha =\frac{2h^2\sin\alpha}{\tg\beta\cdot \tg\gamma}. $$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$ V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h =\frac{1}{3}\cdot \frac{2h^2\sin\alpha}{\tg\beta\cdot \tg\gamma}\cdot h =\frac{2h^3\sin\alpha}{3\,\tg\beta\cdot \tg\gamma}. $$