Упр.534 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основанием четырехугольной пирамиды, высота которой равна $$H$$, является параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом $$\alpha$$. Попарно равные противоположные боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания углы $$\beta$$ и $$\gamma$$. Найдите объем пирамиды.

Пусть $$H$$ — высота пирамиды, $$MH=H$$. Обозначим диагонали основания через $$AC$$ и $$BD$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$MHD$$ и $$MHC$$.

$$\tan \gamma=\frac{MH}{HD}=\frac{H}{HD}, \qquad HD=\frac{H}{\tan \gamma}$$
$$\tan \beta=\frac{MH}{HC}=\frac{H}{HC}, \qquad HC=\frac{H}{\tan \beta}$$

Так как точка $$H$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма, то она делит их пополам. Следовательно,

$$BD=2HD=\frac{2H}{\tan \gamma}, \qquad AC=2HC=\frac{2H}{\tan \beta}$$

Площадь основания параллелограмма равна

$$S_{осн}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot \sin \alpha$$
$$S_{осн}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2H}{\tan \beta}\cdot \frac{2H}{\tan \gamma}\cdot \sin \alpha =\frac{2H^2\sin \alpha}{\tan \beta\cdot \tan \gamma}$$

Тогда объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot H =\frac{1}{3}\cdot \frac{2H^2\sin \alpha}{\tan \beta\cdot \tan \gamma}\cdot H =\frac{2H^3\sin \alpha}{3\,\tan \beta\cdot \tan \gamma}$$

Ответ: $$V=\frac{2H^3\sin \alpha}{3\,\tan \beta\cdot \tan \gamma}$$