Упр.533 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является треугольник, два угла которого равны ф! и ф2. Высота пирамиды равна h, а каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол ф3. Найдите объем пирамиды.

Обозначим вершину пирамиды через $$M$$, а основание — треугольник $$ABC$$. Пусть $$H$$ — основание высоты пирамиды, тогда $$MH=h$$ и $$MH \perp (ABC)$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$MHA$$, $$MHB$$ и $$MHC$$. По условию каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $$\varphi_3$$, значит

$$\angle MAH=\angle MBH=\angle MCH=\varphi_3.$$

Тогда в каждом из этих треугольников

$$\tan \varphi_3=\frac{MH}{AH}=\frac{h}{AH},$$

откуда

$$AH=\frac{h}{\tan \varphi_3}.$$

Так как $$\triangle MHA \cong \triangle MHB \cong \triangle MHC$$, то

$$AH=BH=CH=\frac{h}{\tan \varphi_3}.$$

Следовательно, точка $$H$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, а её радиус

$$R=AH=\frac{h}{\tan \varphi_3}.$$

По теореме синусов в треугольнике $$ABC$$:

$$\frac{AC}{\sin \varphi_2}=\frac{BC}{\sin \varphi_1}=\frac{AB}{\sin(\varphi_1+\varphi_2)}=2R=\frac{2h}{\tan \varphi_3}.$$

Отсюда

$$AC=\frac{2h\sin \varphi_2}{\tan \varphi_3}, \qquad BC=\frac{2h\sin \varphi_1}{\tan \varphi_3}.$$

Площадь основания:

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\,AC\cdot BC\cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2) $$

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2h\sin \varphi_2}{\tan \varphi_3}\cdot \frac{2h\sin \varphi_1}{\tan \varphi_3}\cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2) $$

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\left(\frac{2h}{\tan \varphi_3}\right)^2 \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \sin(\varphi_1+\varphi_2). $$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$ V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot h $$

$$ V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{2h}{\tan \varphi_3}\right)^2 \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \sin(\varphi_1+\varphi_2)\cdot h $$

$$ V=\frac{2h^3\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \sin(\varphi_1+\varphi_2)}{3\tan^2 \varphi_3}. $$

Ответ

$$V=\frac{2h^3\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \sin(\varphi_1+\varphi_2)}{3\tan^2 \varphi_3}.$$