Упр.533 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является треугольник, два угла которого равны $$\varphi_1$$ и $$\varphi_2$$. Высота пирамиды равна $$h$$, а каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $$\varphi_3$$. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим вершину пирамиды через $$M$$, а основание — треугольник $$ABC$$. Пусть $$MH$$ — высота пирамиды, тогда $$MH=h$$ и $$H$$ — проекция точки $$M$$ на плоскость основания.

Так как каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $$\varphi_3$$, то в прямоугольных треугольниках $$MHA$$, $$MHB$$ и $$MHC$$ имеем

$$\angle MAH=\angle MBH=\angle MCH=\varphi_3.$$

Следовательно,

$$\tan \varphi_3=\frac{MH}{AH}=\frac{h}{AH},$$

откуда

$$AH=\frac{h}{\tan \varphi_3}.$$

Аналогично

$$BH=CH=\frac{h}{\tan \varphi_3}.$$

Значит, точка $$H$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, а его радиус равен

$$R=AH=BH=CH=\frac{h}{\tan \varphi_3}.$$

По теореме синусов в треугольнике $$ABC$$:

$$\frac{AC}{\sin \varphi_2}=\frac{BC}{\sin \varphi_1}=\frac{AB}{\sin(\varphi_1+\varphi_2)}=2R=\frac{2h}{\tan \varphi_3}.$$

Отсюда

$$AC=\frac{2h\sin \varphi_2}{\tan \varphi_3}, \qquad BC=\frac{2h\sin \varphi_1}{\tan \varphi_3}.$$

Площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2)$$

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot \frac{2h\sin \varphi_2}{\tan \varphi_3}\cdot \frac{2h\sin \varphi_1}{\tan \varphi_3}\cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2)$$

$$S_{ABC}=\frac12 \left(\frac{2h}{\tan \varphi_3}\right)^2 \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \sin(\varphi_1+\varphi_2).$$

Тогда объём пирамиды равен

$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot h =\frac13 \cdot \frac12 \left(\frac{2h}{\tan \varphi_3}\right)^2 \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \sin(\varphi_1+\varphi_2)\cdot h.$$

После упрощения получаем

$$V=\frac{2h^3\sin \varphi_1\sin \varphi_2\sin(\varphi_1+\varphi_2)}{3\tan^2 \varphi_3}.$$