Упр.532 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной $$n$$-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен $$\alpha$$, а сторона основания равна $$a$$. Найдите объём пирамиды.

Пусть $$O$$ — центр правильного $$n$$-угольника основания, $$A_1$$ и $$A_2$$ — соседние вершины основания, $$M$$ — вершина пирамиды, $$H$$ — основание высоты $$MH$$. Тогда $$H=O$$, а $$OA_1$$ — радиус описанной окружности основания.

Найдём сначала радиус основания:

$$OA_1=\frac{A_1A_2}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

В треугольнике $$A_1MA_2$$ по теореме синусов:

$$\frac{A_1M}{\sin\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{a}{\sin\alpha}.$$

Отсюда

$$A_1M=\frac{a\sin\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\alpha}=\frac{a\cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$A_1MH$$:

$$MH=\sqrt{A_1M^2-A_1H^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{a^2}{4\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}$$

$$MH=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$

Площадь основания правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$ равна

$$S_{\text{осн}}=\frac{na^2}{4\tan\frac{180^\circ}{n}}.$$

Тогда объём пирамиды:

$$V=\frac13 S_{\text{осн}}\cdot MH$$

$$V=\frac13\cdot \frac{na^2}{4\tan\frac{180^\circ}{n}}\cdot \frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$

Следовательно,

$$V=\frac{na^3}{24\tan\frac{180^\circ}{n}}\sqrt{\frac{1}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$