Упр.531 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Высота правильной треугольной пирамиды равна $$h$$, а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен $$2\varphi$$. Найдите объём пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$ABCN$$ — правильная треугольная пирамида, $$NO=h$$ — её высота, $$\angle KTM=\varphi$$, тогда двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен $$2\varphi$$.

Обозначим через $$O$$ центр основания $$ABC$$. Тогда $$NO\perp ABC$$, а в правильной пирамиде точка $$O$$ является также центром вписанной и описанной окружностей треугольника $$ABC$$.

Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной боковому ребру. Из свойств двугранного угла получаем, что в соответствующем прямоугольном треугольнике

$$\tan\varphi=\frac{KO}{OM}.$$

Так как $$O$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$, то

$$AO=R=\frac{BC\sqrt3}{3}.$$

Кроме того, в равностороннем треугольнике $$ABC$$ высота $$AP$$ является также медианой, поэтому $$CP=\dfrac{BC}{2}$$, а

$$AP=\frac{BC\sqrt3}{2}.$$

Из подобия треугольников $$\triangle ACP$$ и $$\triangle AOM$$ следует

$$\frac{OM}{AO}=\frac{PC}{AP}=\frac{1}{\sqrt3},$$

значит

$$OM=\frac{AO}{\sqrt3}=\frac{BC}{3}.$$

Тогда

$$\tan\varphi=\frac{KO}{OM}=\frac{KO}{BC/3}.$$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике $$ANO$$

$$\tan\angle BNA=\frac{AO}{NO}=\frac{AO}{h}.$$

Так как $$AO=\dfrac{BC\sqrt3}{3}$$, то

$$\frac{BC\sqrt3}{3h}=\tan\angle BNA,$$

откуда

$$BC=h\sqrt3\,\tan\angle BNA.$$

Из соотношений для углов получаем

$$\tan\varphi=\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sin\angle BNA}{\sin\angle BNA\cdot\cos\angle BNA}$$

и, следовательно,

$$3\cos\angle BNA\cdot\tan\varphi=\sqrt3,$$

то есть

$$\cos\angle BNA=\frac{\sqrt3}{3\tan\varphi}.$$

Тогда

$$AN=\frac{h}{\cos\angle BNA}=h\sqrt3\,\tan\varphi.$$

В прямоугольном треугольнике $$ANO$$ имеем

$$AO=\sqrt{AN^2-NO^2}=\sqrt{3h^2\tan^2\varphi-h^2}=h\sqrt{3\tan^2\varphi-1}.$$

Теперь найдём сторону основания:

$$AO=\frac{BC\sqrt3}{3}\quad\Rightarrow\quad BC=\sqrt3\,AO=\sqrt3\,h\sqrt{3\tan^2\varphi-1}.$$

Площадь основания правильной треугольной пирамиды равна

$$S_{\text{осн}}=\frac{BC^2\sqrt3}{4}.$$

Тогда объём пирамиды:

$$V=\frac13 S_{\text{осн}}h =\frac13\cdot \frac{BC^2\sqrt3}{4}\cdot h =\frac13\cdot \frac{3h^2(3\tan^2\varphi-1)\sqrt3}{4}\cdot h =\frac{h^3\sqrt3}{4}\,(3\tan^2\varphi-1).$$