Упр.531 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен 2ф. Найдите объем пирамиды.
Обозначим через $$O$$ центр основания правильной треугольной пирамиды, а через $$N$$ её вершину. Тогда $$NO=h$$.
Пусть $$K$$ — точка на ребре основания, а $$M$$ — точка на стороне основания так, что $$KM \parallel BC$$. Рассмотрим двугранный угол при боковом ребре $$NA$$; его линейный угол равен $$2\varphi$$, значит в сечении, перпендикулярном ребру $$NA$$, получаем
$$\angle KTO= \varphi.$$
Из прямоугольного треугольника $$ONT$$ имеем
$$OT=h\sin \angle BNA.$$
Так как $$KO=OM$$, то в прямоугольном треугольнике $$TOK$$
$$\tan \varphi=\frac{MK}{OT}=\frac{MK}{h\sin \angle BNA}.$$
Теперь найдём сторону основания $$BC$$ через угол $$\angle BNA$$. В прямоугольном треугольнике $$ANO$$:
$$\tan \angle BNA=\frac{AO}{NO}=\frac{AO}{h}.$$
Для правильного треугольника $$ABC$$ радиус описанной окружности равен
$$AO=R=\frac{BC\sqrt{3}}{3}.$$
Следовательно,
$$BC=\sqrt{3}\,h\tan \angle BNA.$$
Подставим это в выражение для $$\tan \varphi$$. Так как
$$OT=h\sin \angle BNA,$$
а $$MK$$ выражается через сторону основания, получаем
$$\tan \varphi=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{1}{\sin \angle BNA\cdot \cos \angle BNA}.$$
Отсюда
$$3\cos \angle BNA\cdot \tan \varphi=\sqrt{3},$$
то есть
$$\cos \angle BNA=\frac{\sqrt{3}}{3\tan \varphi}.$$
Тогда
$$AN=\frac{h}{\cos \angle BNA}=h\sqrt{3}\tan \varphi.$$
В прямоугольном треугольнике $$ANO$$:
$$AO=\sqrt{AN^2-NO^2}=\sqrt{3h^2\tan^2\varphi-h^2}=h\sqrt{3\tan^2\varphi-1}.$$
Но для правильного треугольника $$ABC$$
$$AO=\frac{BC\sqrt{3}}{3},$$
значит
$$BC=\sqrt{3}\,AO=\sqrt{3}\,h\sqrt{3\tan^2\varphi-1}.$$
Площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=\frac{BC^2\sqrt{3}}{4}.$$
Тогда объём пирамиды равен
$$ V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h =\frac{1}{3}\cdot \frac{BC^2\sqrt{3}}{4}\cdot h =\frac{h^3\sqrt{3}}{4}\left(3\tan^2\varphi-1\right). $$
Ответ
$$V=\frac{h^3\sqrt{3}}{4}\left(3\tan^2\varphi-1\right).$$