Упр.530 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с основанием угол $$\varphi$$, а середина этого ребра удалена от основания пирамиды на расстояние, равное $$m$$. Найдите объём пирамиды.
Обозначим вершину правильной четырёхугольной пирамиды через $$M$$, а основание — квадрат $$ABCD$$. Пусть $$O$$ — центр основания, $$MO$$ — высота пирамиды. Тогда $$AB=BC=CD=DA=a$$.
Пусть $$E$$ — середина бокового ребра $$AM$$, а из точки $$E$$ опущен перпендикуляр на плоскость основания. Его основание обозначим через $$K$$. По условию $$EK=m$$, а угол между ребром $$AM$$ и плоскостью основания равен $$\varphi$$, значит в прямоугольном треугольнике $$AMO$$ имеем $$\angle MAO=\varphi$$.
Так как $$E$$ — середина отрезка $$AM$$, а точки $$K$$ и $$O$$ лежат соответственно на прямых, перпендикулярных плоскости основания, то отрезок $$EK$$ параллелен $$MO$$. Следовательно, в треугольнике $$AMO$$ отрезок, соединяющий середину стороны $$AM$$ с точкой на стороне $$AO$$ и параллельный $$MO$$, является средней линией. Поэтому
$$MO=2EK=2m.$$
В прямоугольном треугольнике $$AMO$$:
$$\tg\varphi=\frac{MO}{AO},$$
откуда
$$AO=\frac{MO}{\tg\varphi}=\frac{2m}{\tg\varphi}.$$
Диагональ квадрата основания равна
$$AC=2AO=\frac{4m}{\tg\varphi}.$$
С другой стороны, для квадрата
$$AC=a\sqrt{2},$$
значит
$$a=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{4m}{\sqrt{2}\,\tg\varphi}=\frac{2\sqrt{2}\,m}{\tg\varphi}.$$
Тогда площадь основания пирамиды:
$$S_{\text{осн}}=a^2=\left(\frac{2\sqrt{2}\,m}{\tg\varphi}\right)^2=\frac{8m^2}{\tg^2\varphi}.$$
Теперь найдём объём пирамиды:
$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot MO =\frac{1}{3}\cdot \frac{8m^2}{\tg^2\varphi}\cdot 2m =\frac{16m^3}{3\,\tg^2\varphi}.$$
Ответ
$$V=\frac{16m^3}{3\,\tg^2\varphi}.$$
