Упр.530 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с основанием угол ф, а середина этого ребра удалена от основания пирамиды на расстояние, равное т. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим вершину пирамиды через $$M$$, а центр основания — через $$O$$. Основание $$ABCD$$ — квадрат, значит $$AB=BC=CD=DA=a$$, а $$MO$$ — высота пирамиды.

Пусть $$E$$ — середина бокового ребра $$MA$$. Опустим из точки $$E$$ перпендикуляр $$EK$$ на плоскость основания. По условию $$EK=m$$, а угол между ребром $$MA$$ и основанием равен $$\varphi$$, значит в прямоугольном треугольнике $$AMO$$ угол между $$AM$$ и его проекцией $$AO$$ равен $$\varphi$$.

Так как $$E$$ — середина отрезка $$MA$$, то расстояние от точки $$E$$ до плоскости основания равно половине высоты пирамиды:

$$MO=2m.$$

В прямоугольном треугольнике $$AMO$$ имеем

$$\tg\varphi=\frac{MO}{AO},$$

откуда

$$AO=\frac{MO}{\tg\varphi}=\frac{2m}{\tg\varphi}.$$

Но в квадрате диагональ равна удвоенной половине диагонали, поэтому

$$AC=2AO=\frac{4m}{\tg\varphi}.$$

С другой стороны, для квадрата

$$AC=a\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$a=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{4m}{\sqrt{2}\,\tg\varphi}=\frac{2\sqrt{2}\,m}{\tg\varphi}.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot MO=\frac{1}{3}a^2\cdot MO.$$

Подставим найденные значения:

$$ V=\frac{1}{3}\left(\frac{2\sqrt{2}\,m}{\tg\varphi}\right)^2\cdot 2m =\frac{1}{3}\cdot \frac{8m^2}{\tg^2\varphi}\cdot 2m =\frac{16m^3}{3\,\tg^2\varphi}. $$