Упр.53 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Три отрезка $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2$$, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ параллельны.

Так как прямые $$A_1A_2$$ и $$C_1C_2$$ пересекаются, через них проходит единственная плоскость, обозначим её $$\alpha$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$A_1C_1A_2C_2$$ в плоскости $$\alpha$$. Его диагонали $$A_1A_2$$ и $$C_1C_2$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся ею пополам, значит, $$A_1C_1A_2C_2$$ — параллелограмм. Тогда

$$A_1C_1 \parallel A_2C_2.$$

Аналогично, из того что точка $$O$$ — середина отрезков $$A_1A_2$$ и $$B_1B_2$$, получаем, что четырёхугольник $$A_1B_1A_2B_2$$ — параллелограмм, следовательно,

$$A_1B_1 \parallel A_2B_2.$$

Теперь в плоскости $$A_1B_1C_1$$ лежат пересекающиеся прямые $$A_1B_1$$ и $$A_1C_1$$, а в плоскости $$A_2B_2C_2$$ — пересекающиеся прямые $$A_2B_2$$ и $$A_2C_2$$. При этом

$$A_1B_1 \parallel A_2B_2,\qquad A_1C_1 \parallel A_2C_2.$$

По признаку параллельности плоскостей получаем:

$$A_1B_1C_1 \parallel A_2B_2C_2.$$

Ответ: $$A_1B_1C_1 \parallel A_2B_2C_2$$.