Упр.529 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если боковая грань составляет с плоскостью основания угол $$\varphi$$, а не лежащая в этой грани вершина основания находится на расстоянии $$m$$ от нее.

Подробный ответ

Пусть $$ABC M$$ — правильная треугольная пирамида, $$O$$ — центр основания, $$K$$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $$B$$ на ребро $$MP$$, где $$P$$ — вершина основания, не лежащая в боковой грани, составляющей с плоскостью основания угол $$\varphi$$.

Так как пирамида правильная, то основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник со стороной $$a$$, а высота пирамиды проходит через центр основания $$O$$.

Рассмотрим сечение, в котором двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания равен $$\varphi$$. Тогда в прямоугольном треугольнике, полученном из этого сечения, имеем

$$BP=\frac{m}{\sin\varphi}.$$

С другой стороны, в равностороннем треугольнике основания

$$BP=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{m}{\sin\varphi},$$

откуда

$$a=\frac{2m}{\sqrt{3}\sin\varphi}.$$

Теперь найдём площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4m^2}{3\sin^2\varphi}\cdot \sqrt{3}=\frac{m^2\sqrt{3}}{3\sin^2\varphi}.$$

В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{m}{3\sin\varphi}.$$

Высота пирамиды равна

$$h=r\tan\varphi=\frac{m}{3\sin\varphi}\cdot \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{m}{3\cos\varphi}.$$

Тогда объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h =\frac{1}{3}\cdot \frac{m^2\sqrt{3}}{3\sin^2\varphi}\cdot \frac{m}{3\cos\varphi} =\frac{m^3\sqrt{3}}{27\sin^2\varphi\cos\varphi}.$$