Упр.529 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если боковая грань составляет с плоскостью основания угол ф, а не лежащая в этой грани вершина основания находится на расстоянии m от нее.

Подробный ответ

Обозначим сторону основания правильной треугольной пирамиды через $$a$$, а высоту пирамиды — через $$h$$.

Пусть $$O$$ — центр равностороннего треугольника основания, $$K$$ — основание перпендикуляра из вершины основания, не лежащей в данной боковой грани, на ребро этой грани. Тогда $$BK=m$$, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен двугранному углу $$\varphi$$.

Рассмотрим сечение, перпендикулярное ребру, по которому боковая грань пересекает основание. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник, в котором

$$\sin\varphi=\frac{BP}{MP}$$

и, следовательно,

$$BP=\frac{m}{\sin\varphi}.$$

С другой стороны, в основании пирамиды $$\triangle ABC$$ — равносторонний, поэтому высота этого треугольника равна

$$BP=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{m}{\sin\varphi},$$

значит

$$a=\frac{2m}{\sqrt{3}\sin\varphi}.$$

Теперь найдём площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4m^2}{3\sin^2\varphi}\cdot \sqrt{3}=\frac{m^2\sqrt{3}}{3\sin^2\varphi}.$$

В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{m}{3\sin\varphi}.$$

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды и этим радиусом, имеем

$$\tan\varphi=\frac{h}{r},$$

откуда

$$h=r\tan\varphi=\frac{m}{3\sin\varphi}\cdot \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{m}{3\cos\varphi}.$$

Тогда объём пирамиды:

$$ V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h =\frac{1}{3}\cdot \frac{m^2\sqrt{3}}{3\sin^2\varphi}\cdot \frac{m}{3\cos\varphi} =\frac{m^3\sqrt{3}}{27\sin^2\varphi\cos\varphi}. $$