Упр.527 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На трёх данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, отложены три равных отрезка $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$. Докажите, что объём призмы, боковыми рёбрами которой являются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых.

Обозначим через $$S_{ABC}$$ площадь основания призмы $$ABC A_1B_1C_1$$, а через $$h$$ — её высоту.

Так как прямые $$a \parallel b \parallel c$$, то отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ равны и параллельны между собой. Следовательно, боковые рёбра призмы имеют одну и ту же длину:

$$AA_1=BB_1=CC_1=\text{const}.$$

Кроме того, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны, так как соответствующие стороны лежат на параллельных прямых и равны между собой. Значит, площадь основания $$S_{ABC}$$ не зависит от положения отрезков на прямых $$a,b,c$$.

Проведём высоту $$CH \perp AB$$ в треугольнике $$ABC$$. Поскольку треугольник $$ABC$$ не изменяется при перемещении отрезков по параллельным прямым, то и высота $$CH$$ постоянна.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$V=S_{ABC}\cdot h.$$

Так как $$S_{ABC}$$ и $$h$$ постоянны, то и объём призмы не зависит от положения отрезков $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ на данных параллельных прямых.

Ответ: $$V=\text{const}$$.