Упр.527 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ha трех данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, отложены три равных отрезка AA1, BB1 и CC1. Докажите, что объем призмы, боковыми ребрами которой являются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых.

Подробный ответ

Так как прямые $$a$$, $$b$$ и $$c$$ параллельны, то отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ равны между собой и имеют постоянную длину:

$$AA_1=BB_1=CC_1=\text{const}.$$

Кроме того, расстояния между параллельными прямыми тоже постоянны, значит длины отрезков, соединяющих точки на этих прямых, не зависят от выбора положения отрезков:

$$AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad BC=B_1C_1.$$

Рассмотрим основание призмы $$ABC$$. Построим высоту $$CH\perp AB$$. Поскольку треугольник $$ABC$$ определяется тремя параллельными прямыми и длины его сторон постоянны, то и высота $$CH$$ постоянна.

Тогда площадь основания призмы равна

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH,$$

а объём призмы

$$V=S_{ABC}\cdot AA_1=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH\cdot AA_1.$$

Все множители в этой формуле постоянны, следовательно, объём призмы не зависит от положения отрезков $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ на данных прямых.