Упр.526 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.

Пусть $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$, тогда $$CH \perp AB$$. Так как боковая грань $$ABB_1A_1$$ — прямоугольник, то $$CH \perp ABB_1A_1$$, а значит, $$CH$$ является расстоянием от этой грани до параллельного ей ребра $$B_1C_1$$.

Достроим призму до параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Тогда объём параллелепипеда равен

$$V_{\text{пар}}=S_{AA_1B_1B}\cdot CH.$$

Поскольку призма $$ABCA_1B_1C_1$$ составляет половину этого параллелепипеда, получаем

$$V_{\text{пр}}=\frac12V_{\text{пар}}=\frac12S_{AA_1B_1B}\cdot CH.$$

Следовательно, объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.

Ответ: $$V_{\text{пр}}=\frac12S_{\text{боковой грани}}\cdot h,$$ где $$h$$ — расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.