Упр.523 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямой призме, основанием которой является прямоугольный треугольник, пять рёбер равны $$a$$, а остальные четыре ребра равны друг другу. Найдите объём призмы.

Обозначим длины рёбер призмы. Так как призма прямая, то боковые рёбра равны между собой. По условию пять рёбер равны $$a$$, а остальные четыре рёбра тоже равны между собой. Значит, в основании лежит прямоугольный треугольник, у которого два катета равны, а гипотенуза равна $$a$$.

Пусть $$AB=BC=x$$, тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$AB^2+BC^2=AC^2$$

$$x^2+x^2=a^2$$

$$2x^2=a^2,\qquad x^2=\frac{a^2}{2}$$

Следовательно,

$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}$$

Высота призмы равна боковому ребру, то есть $$a$$. Тогда объём призмы:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{a^2}{4}\cdot a=\frac{a^3}{4}$$

Ответ: $$\frac{a^3}{4}$$.