Упр.521 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и 3 -j2 см, а острый угол основания равен 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет угол в 45° с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда.

Подробный ответ

Обозначим меньшую диагональ параллелепипеда через $$BD_1$$. Тогда её проекция на плоскость основания — это диагональ основания $$BD$$.

Найдём $$BD$$ в треугольнике $$ABD$$ по теореме косинусов:

$$ BD^2=AD^2+AB^2-2\cdot AD\cdot AB\cdot \cos \angle DAB $$

$$ BD^2=7^2+(3\sqrt{2})^2-2\cdot 7\cdot 3\sqrt{2}\cdot \cos 45^\circ $$

$$ BD^2=49+18-2\cdot 7\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=49+18-42=25 $$

Следовательно, $$BD=5$$ см.

Рассмотрим треугольник $$BB_1D$$. Он прямоугольный, так как $$BB_1 \perp$ плоскости основания, значит $$BB_1 \perp BD$$. По условию меньшая диагональ составляет с плоскостью основания угол $$45^\circ$$, значит в треугольнике $$BB_1D$$ угол между $$BD_1$$ и его проекцией $$BD$$ равен $$45^\circ$$. Тогда

$$
\tan 45^\circ=\frac{BB_1}{BD}
$$

откуда

$$
BB_1=BD=5\text{ см}.
$$

Найдём площадь основания параллелепипеда:

$$
S_{\text{осн}}=AD\cdot AB\cdot \sin \angle DAB
$$

$$
S_{\text{осн}}=7\cdot 3\sqrt{2}\cdot \sin 45^\circ
=7\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=21\text{ см}^2.
$$

Тогда объём параллелепипеда равен

$$
V=S_{\text{осн}}\cdot BB_1=21\cdot 5=105\text{ см}^3.
$$