Упр.521 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Стороны основания прямого параллелепипеда равны $$7\text{ см}$$ и $$3\sqrt{2}\text{ см}$$, а острый угол основания равен $$45^\circ$$. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет угол в $$45^\circ$$ с плоскостью основания. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть $$AB=3\sqrt{2}\text{ см},\quad AD=7\text{ см},\quad \angle DAB=45^\circ.$$ Обозначим меньшую диагональ параллелепипеда через $$BD_1.$$

Найдём сначала диагональ основания $$BD$$ в треугольнике $$ABD$$ по теореме косинусов:

$$BD^2=AD^2+AB^2-2\cdot AD\cdot AB\cdot \cos \angle DAB$$
$$BD^2=7^2+(3\sqrt{2})^2-2\cdot 7\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} =49+18-42=25.$$
Следовательно, $$BD=5\text{ см}.$$

Так как диагональ $$BD_1$$ составляет с плоскостью основания угол $$45^\circ,$$ то в прямоугольном треугольнике $$BDD_1$$ имеем

$$\tan 45^\circ=\frac{DD_1}{BD},$$
откуда
$$DD_1=BD=5\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь основания параллелепипеда:

$$S_{\text{осн}}=AB\cdot AD\cdot \sin \angle DAB =3\sqrt{2}\cdot 7\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=21\text{ см}^2.$$

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot DD_1=21\cdot 5=105\text{ см}^3.$$

Ответ: $$105\text{ см}^3.$$