Упр.52 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Две стороны треугольника параллельны плоскости $$\alpha$$. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости $$\alpha$$.

Подробный ответ

Пусть плоскость треугольника $$ABC$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ по прямой $$l$$.

Так как $$AB \parallel \alpha$$ и $$AC \parallel \alpha$$, то прямые $$AB$$ и $$AC$$ не пересекают плоскость $$\alpha$$. Значит, они не могут пересекать и прямую $$l$$, лежащую в этой плоскости.

Но в плоскости $$ABC$$ две прямые $$AB$$ и $$AC$$ пересекаются в точке $$A$$. Следовательно, точка $$A$$ не лежит в плоскости $$\alpha$$, а прямая $$l$$ в плоскости $$ABC$$ не может быть параллельна одновременно и $$AB$$, и $$AC$$, если бы она проходила через точку $$A$$. Поэтому прямая $$l$$ не совпадает ни с $$AB$$, ни с $$AC$$.

В плоскости $$ABC$$ через точку $$A$$ проходят две прямые $$AB$$ и $$AC$$, параллельные плоскости $$\alpha$$. Тогда плоскость $$ABC$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$, то есть

$$ABC \parallel \alpha.$$

Следовательно, любая прямая, лежащая в плоскости $$ABC$$, в частности $$BC$$, параллельна плоскости $$\alpha$$.

Итак, $$BC \parallel \alpha$$, что и требовалось доказать.