Упр.519 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном параллелепипеде диагонали трёх граней, выходящие из одной вершины, равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объём параллелепипеда.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$a,$$ $$b,$$ $$c.$$ Тогда диагонали трёх граней, выходящие из одной вершины, равны:

$$\sqrt{a^2+c^2}=7,\qquad \sqrt{b^2+c^2}=8,\qquad \sqrt{a^2+b^2}=9.$$

Возведём равенства в квадрат:

$$a^2+c^2=49,\qquad b^2+c^2=64,\qquad a^2+b^2=81.$$

Сложим первые два уравнения и вычтем третье:

$$2c^2=49+64-81=32,$$

откуда

$$c^2=16,\qquad c=4.$$

Тогда

$$b^2=64-16=48,\qquad b=4\sqrt{3},$$

$$a^2=49-16=33,\qquad a=\sqrt{33}.$$

Теперь найдём объём параллелепипеда:

$$V=abc=\sqrt{33}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{99}=48\sqrt{11}.$$

Ответ: $$48\sqrt{11}\text{ см}^3.$$