Упр.518 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Площади трех попарно смежных граней прямоугольного параллелепипеда равны $$S_1$$, $$S_2$$, $$S_3$$. Выразите объем этого параллелепипеда через $$S_1$$, $$S_2$$, $$S_3$$ и вычислите его при $$S_1 = 6\ \text{дм}^2$$, $$S_2 = 12\ \text{дм}^2$$, $$S_3 = 18\ \text{дм}^2$$.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, через $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Тогда площади трёх попарно смежных граней равны:

$$S_1=ac,\qquad S_2=bc,\qquad S_3=ab.$$

Перемножим эти равенства:

$$S_1S_2S_3=(ac)(bc)(ab)=a^2b^2c^2=(abc)^2.$$

Но $$V=abc$$ — объём параллелепипеда, значит

$$V=\sqrt{S_1S_2S_3}.$$

Подставим данные:

$$V=\sqrt{6\cdot 12\cdot 18}=\sqrt{1296}=36\ \text{дм}^3.$$

Ответ: $$V=\sqrt{S_1S_2S_3}=36\ \text{дм}^3.$$