Упр.517 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

Обозначим радиус сферы через $$R$$, а радиус основания конуса — через $$r$$, высоту конуса — через $$h$$, образующую — через $$l$$.

По условию $$h=d$$, где $$d$$ — диаметр сферы, значит $$h=2R$$. Также $$d_0=l$$, где $$d_0$$ — диаметр основания конуса, поэтому $$2r=l$$.

Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с высотой $$h$$, основанием $$2r$$ и боковой стороной $$l$$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$l$$ и катетами $$h$$ и $$r$$ имеем

$$l^2=h^2+r^2.$$

Так как $$l=2r$$, то

$$4r^2=h^2+r^2,$$

откуда

$$3r^2=h^2,\qquad r=\frac{h}{\sqrt3}.$$

Тогда

$$l=2r=\frac{2h}{\sqrt3}.$$

Найдём полную поверхность конуса:

$$S_{\text{осн}}=\pi r^2=\pi\cdot \frac{h^2}{3}=\frac{\pi h^2}{3},$$

$$S_{\text{бок}}=\pi rl=\pi\cdot \frac{h}{\sqrt3}\cdot \frac{2h}{\sqrt3}=\frac{2\pi h^2}{3}.$$

Следовательно,

$$S_{\text{конуса}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=\frac{\pi h^2}{3}+\frac{2\pi h^2}{3}=\pi h^2.$$

Теперь найдём площадь сферы:

$$S_{\text{сферы}}=4\pi R^2=4\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\pi d^2.$$

Так как $$h=d$$, то

$$S_{\text{сферы}}=\pi d^2=\pi h^2=S_{\text{конуса}}.$$

Значит, площадь сферы равна площади полной поверхности данного конуса, что и требовалось доказать.