Упр.514 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Круговой сектор с углом $$30^\circ$$ и радиусом $$R$$ вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объём получившегося шарового сектора.
Пусть сектор вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Тогда центральный угол сектора равен $$30^\circ,$$ а угол между радиусами, образующими ось вращения и второй радиус сектора, равен $$60^\circ.$$
Рассмотрим сечение полученного тела плоскостью, проходящей через ось вращения и второй радиус сектора. Получается равносторонний треугольник со стороной $$R,$$ так как все его стороны равны радиусу сектора.
Опустим из вершины этого треугольника высоту на ось вращения. Тогда в прямоугольном треугольнике
$$OD=\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3R^2}{4}} =\frac{\sqrt3}{2}R.$$
Высота шарового сектора равна
$$h=R-OD=R-\frac{\sqrt3}{2}R=R\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right).$$
Объём шарового сектора выражается формулой
$$V=\frac{2}{3}\pi R^2h.$$
Подставим найденное значение $$h$$:
$$V=\frac{2}{3}\pi R^2\cdot R\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right) =\frac{2-\sqrt3}{3}\pi R^3.$$
Ответ: $$V=\frac{2-\sqrt3}{3}\pi R^3.$$
