Упр.511 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

Подробный ответ

Пусть плоскости делят диаметр шара на три равные части. Тогда высоты двух крайних шаровых сегментов равны, а высота среднего шарового слоя равна расстоянию между плоскостями.

Обозначим эту общую треть диаметра через $$h$$. Тогда

$$AB=BC=CD=h,\qquad AB+BC+CD=2R,$$

откуда

$$h=\frac{2R}{3}.$$

Объём шарового слоя равен объёму шара без объёмов двух равных крайних сегментов.

Объём одного шарового сегмента высоты $$h$$ вычисляется по формуле

$$V_{\text{сег}}=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right).$$

Тогда сумма объёмов двух крайних сегментов:

$$ 2V_{\text{сег}}=2\pi\left(\frac{2R}{3}\right)^2\left(R-\frac{1}{3}\cdot\frac{2R}{3}\right) =2\pi\cdot\frac{4R^2}{9}\cdot\frac{7R}{9} =\frac{56}{81}\pi R^3. $$

Объём шара:

$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{108}{81}\pi R^3.$$

Следовательно, объём шарового слоя:

$$ V_{\text{слоя}}=V_{\text{шара}}-2V_{\text{сег}} =\frac{108}{81}\pi R^3-\frac{56}{81}\pi R^3 =\frac{52}{81}\pi R^3. $$