Упр.511 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Диаметр шара разделен на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен $$R$$.

Пусть диаметр шара равен $$2R$$. Он разделён на три равные части, значит расстояние между соседними плоскостями равно

$$h=\frac{2R}{3}.$$

Шаровой слой состоит из двух шаровых сегментов с высотами $$h$$ и $$h$$. Объём шарового сегмента высоты $$h$$ равен

$$V_{\text{сег}}=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right).$$

Тогда объём двух крайних сегментов:

$$V_{\text{крайних}}=2\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right) =2\pi\left(\frac{2R}{3}\right)^2\left(R-\frac{1}{3}\cdot\frac{2R}{3}\right).$$

Вычислим:

$$V_{\text{крайних}} =2\pi\cdot\frac{4R^2}{9}\cdot\left(R-\frac{2R}{9}\right) =2\pi\cdot\frac{4R^2}{9}\cdot\frac{7R}{9} =\frac{56}{81}\pi R^3.$$

Объём шара:

$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

Следовательно, объём шарового слоя равен

$$V_{\text{слоя}}=V_{\text{шара}}-V_{\text{крайних}} =\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{56}{81}\pi R^3 =\frac{108-56}{81}\pi R^3 =\frac{52}{81}\pi R^3.$$

Ответ: $$\frac{52}{81}\pi R^3$$.