Упр.510 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Обозначим радиус шара через $$R=75$$ см, радиус окружности основания сегмента через $$r=60$$ см, а высоту сегмента через $$h$$.

Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через ось сегмента. Получаем прямоугольный треугольник, в котором

$$OB=R,\quad OA=R-h,\quad AB=r.$$

Тогда по теореме Пифагора:

$$ R^2=(R-h)^2+r^2 $$
$$ R^2=R^2-2Rh+h^2+r^2 $$
$$ h^2-2Rh+r^2=0. $$

Подставим значения:

$$ h^2-150h+3600=0. $$

Найдём корни уравнения:

$$ D=150^2-4\cdot 3600=22500-14400=8100, $$
$$ \sqrt D=90. $$

$$ h=\frac{150\pm 90}{2}. $$

Отсюда

$$ h_1=120\text{ см},\qquad h_2=30\text{ см}. $$

Объём шарового сегмента вычисляется по формуле

$$ V=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right). $$

Для $$h_1=120$$ см:

$$ V_1=\pi\cdot 120^2\left(75-\frac{120}{3}\right) =\pi\cdot 14400\cdot 35 =504000\pi\ \text{см}^3. $$

Для $$h_2=30$$ см:

$$ V_2=\pi\cdot 30^2\left(75-\frac{30}{3}\right) =\pi\cdot 900\cdot 65 =58500\pi\ \text{см}^3. $$

Следовательно, возможны два шаровых сегмента с такими данными.

Ответ

$$58500\pi\ \text{см}^3$$ или $$504000\pi\ \text{см}^3$$.