Упр.510 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен $$60\ \text{см}$$, а радиус шара равен $$75\ \text{см}$$.

Обозначим высоту шарового сегмента через $$h$$. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом шара, радиусом основания сегмента и высотой, имеем

$$R^2=(R-h)^2+r^2.$$

Подставим $$R=75$$ см, $$r=60$$ см:

$$75^2=(75-h)^2+60^2.$$

Раскроем скобки:

$$5625=5625-150h+h^2+3600,$$

откуда

$$h^2-150h+3600=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=150^2-4\cdot 3600=22500-14400=8100,$$

$$h=\frac{150\pm 90}{2}.$$

Получаем два значения высоты:

$$h_1=120\text{ см},\qquad h_2=30\text{ см}.$$

Объём шарового сегмента вычисляется по формуле

$$V=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right).$$

Тогда для $$h_1=120$$ см:

$$V_1=\pi\cdot 120^2\left(75-\frac{120}{3}\right)=\pi\cdot 14400\cdot 35=504000\pi\ \text{см}^3.$$

Для $$h_2=30$$ см:

$$V_2=\pi\cdot 30^2\left(75-\frac{30}{3}\right)=\pi\cdot 900\cdot 65=58500\pi\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$58500\pi\ \text{см}^3$$ или $$504000\pi\ \text{см}^3$$.