Упр.51 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, если две пересекающиеся прямые $$m$$ и $$n$$ плоскости $$\alpha$$ параллельны плоскости $$\beta$$.

Докажем утверждение от противного.

Пусть $$\alpha \cap \beta \ne \varnothing.$$ Тогда существует прямая $$l=\alpha \cap \beta.$$

Так как $$m \parallel \beta,$$ то прямая $$m$$ не пересекает плоскость $$\beta$$, а значит, не пересекает и прямую $$l \subset \beta.$$ Следовательно, в плоскости $$\alpha$$ через точку пересечения $$B=m \cap n$$ проходит прямая $$l,$$ параллельная прямой $$m.$$ Аналогично, из $$n \parallel \beta$$ получаем $$n \parallel l.$$

Но через точку $$B$$ в плоскости $$\alpha$$ можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой $$l.$$ Получается, что через точку $$B$$ проходят две различные прямые $$m$$ и $$n,$$ обе параллельные $$l,$$ что невозможно.

Противоречие означает, что предположение неверно. Значит,

$$\alpha \cap \beta = \varnothing,$$

то есть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны.

Ответ: $$\alpha \parallel \beta.$$