Упр.509 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему одного шара?

Подробный ответ

Пусть радиус каждого шара равен $$R$$, а их центры — $$O_1$$ и $$O_2$$. Так как центр одного шара лежит на поверхности другого, то

$$O_1O_2=R.$$

Обозначим точки пересечения шаров через $$A$$ и $$B$$. Тогда

$$O_1A=O_1B=O_2A=O_2B=R,$$

значит, четырёхугольник $$O_1AO_2B$$ — ромб. Следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны, а точка их пересечения $$C$$ делит диагональ $$O_1O_2$$ пополам:

$$O_1C=CO_2=\frac{R}{2}.$$

Общая часть шаров состоит из двух одинаковых сферических сегментов высоты

$$h=\frac{R}{2}.$$

Объём одного такого сегмента равен

$$V_1=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right).$$

Подставим $$h=\frac{R}{2}$$:

$$ V_1=\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2\left(R-\frac{1}{3}\cdot\frac{R}{2}\right) =\pi\cdot\frac{R^2}{4}\cdot\frac{5R}{6} =\frac{5\pi R^3}{24}. $$

Тогда объём общей части шаров:

$$ V_{\text{общ}}=2V_1=2\cdot\frac{5\pi R^3}{24}=\frac{5\pi R^3}{12}. $$

Объём одного шара:

$$ V_{\text{шара}}=\frac{4\pi R^3}{3}. $$

Искомое отношение: