Упр.509 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему одного шара?

Обозначим радиус шаров через $$R$$, а их центры — через $$O_1$$ и $$O_2$$. По условию $$O_1O_2=R$$, так как центр одного шара лежит на поверхности другого.

Рассмотрим сечение шаров плоскостью, проходящей через центры $$O_1$$ и $$O_2$$. Тогда общая часть шаров состоит из двух одинаковых шаровых сегментов.

В четырёхугольнике $$O_1AO_2B$$ все стороны равны $$R$$, значит, это ромб. Следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны, а точка пересечения диагоналей делит $$O_1O_2$$ пополам. Поэтому высота каждого сегмента равна

$$h=\frac{R}{2}.$$

Объём одного шарового сегмента высоты $$h$$ равен

$$V_1=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right).$$

Подставим $$h=\frac{R}{2}$$:

$$V_1=\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2\left(R-\frac{1}{3}\cdot\frac{R}{2}\right) =\pi\cdot\frac{R^2}{4}\cdot\frac{5R}{6} =\frac{5\pi R^3}{24}.$$

Тогда объём общей части двух шаров:

$$V_{\text{общ}}=2V_1=2\cdot\frac{5\pi R^3}{24}=\frac{5\pi R^3}{12}.$$

Объём одного шара равен

$$V_{\text{шара}}=\frac{4\pi R^3}{3}.$$

Искомое отношение:

$$\frac{V_{\text{общ}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{5\pi R^3}{12}\cdot\frac{3}{4\pi R^3} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}.$$

Ответ: $$\frac{5}{16}$$.