Упр.507 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В цилиндрическую мензурку диаметром $$2{,}5\ \text{см}$$, наполненную водой до некоторого уровня, опускают $$4$$ равных металлических шарика диаметром $$1\ \text{см}$$. На сколько изменится уровень воды в мензурке?

Обозначим диаметр мензурки через $$d=2{,}5\text{ см}$$, а диаметр одного шарика — через $$d_1=1\text{ см}$$.

Найдём объём четырёх шариков:

$$V=4\cdot \frac{4}{3}\pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^3 =4\cdot \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right)^3 =\frac{2}{3}\pi\text{ см}^3.$$

При погружении шариков уровень воды поднимется на $$\Delta h$$, и вытесненный объём равен объёму цилиндра высоты $$\Delta h$$:

$$V=\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \Delta h.$$

Тогда

$$\Delta h=\frac{V}{\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2} =\frac{\frac{2}{3}\pi}{\pi \cdot \left(\frac{2{,}5}{2}\right)^2} =\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{2{,}5^2} =\frac{32}{75}\text{ см}.$$

Ответ: $$\frac{32}{75}\text{ см}$$.