Упр.503 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пусть $$V$$ — объём шара радиуса $$R$$, а $$S$$ — площадь его поверхности. Найдите:
   а) $$S$$ и $$V$$, если $$R=4\ \text{см}$$;
   б) $$R$$ и $$S$$, если $$V=113{,}04\ \text{см}^3$$;
   в) $$R$$ и $$V$$, если $$S=64\pi\ \text{см}^2$$.

Площадь поверхности шара и его объём выражаются формулами:

$$S=4\pi R^2,$$

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

а)

При $$R=4\text{ см}$$ получаем:

$$S=4\pi\cdot 4^2=4\pi\cdot 16=64\pi\text{ см}^2,$$

$$V=\frac{4}{3}\pi\cdot 4^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 64=\frac{256}{3}\pi\text{ см}^3.$$

б)

Если $$V=113{,}04\text{ см}^3,$$ то

$$R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot 113{,}04}{4\pi}}.$$

Подставим $$\pi\approx 3{,}14$$:

$$R=\sqrt[3]{\frac{339{,}12}{12{,}56}}=\sqrt[3]{27}=3\text{ см}.$$

Тогда

$$S=4\pi\cdot 3^2=4\pi\cdot 9=36\pi\text{ см}^2.$$

в)

Если $$S=64\pi\text{ см}^2,$$ то

$$R=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}=\sqrt{\frac{64\pi}{4\pi}}=\sqrt{16}=4\text{ см}.$$

Тогда

$$V=\frac{4}{3}\pi\cdot 4^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 64=\frac{256}{3}\pi\text{ см}^3.$$

Ответ: а) $$S=64\pi\text{ см}^2,$$ $$V=\frac{256}{3}\pi\text{ см}^3;$$ б) $$R=3\text{ см},$$ $$S=36\pi\text{ см}^2;$$ в) $$R=4\text{ см},$$ $$V=\frac{256}{3}\pi\text{ см}^3.$$