Упр.502 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В усечённом конусе известны высота $$h$$, образующая $$l$$ и площадь $$S$$ боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объём усечённого конуса.
Обозначим радиусы оснований усечённого конуса через $$R$$ и $$r$$, а образующую — через $$l$$. Тогда площадь боковой поверхности равна
$$S=\pi(R+r)l.$$
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой усечённого конуса и разностью радиусов оснований, получаем
$$h^2+(R-r)^2=l^2,$$
откуда
$$R+r=\frac{S}{\pi l}, \qquad R-r=\sqrt{l^2-h^2}.$$
Сложим и вычтем эти равенства:
$$R=\frac{1}{2}\left(\frac{S}{\pi l}+\sqrt{l^2-h^2}\right), \qquad r=\frac{1}{2}\left(\frac{S}{\pi l}-\sqrt{l^2-h^2}\right).$$
Площадь осевого сечения усечённого конуса — это площадь равнобедренной трапеции с основаниями $$2R$$ и $$2r$$ и высотой $$h$$:
$$S_{\text{ос}}=\frac{2R+2r}{2}\cdot h=(R+r)h=\frac{Sh}{\pi l}.$$
Теперь найдём объём усечённого конуса:
$$V=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right).$$
Подставим найденные значения радиусов. Удобно использовать формулу
$$R^2+Rr+r^2=\frac{3(R+r)^2+(R-r)^2}{4}.$$
Тогда
$$V=\frac{1}{3}\pi h\cdot \frac{3\left(\frac{S}{\pi l}\right)^2+\left(l^2-h^2\right)}{4} =\frac{hS^2}{4\pi l^2}+\frac{\pi h(l^2-h^2)}{12}.$$
Ответ: $$S_{\text{ос}}=\frac{Sh}{\pi l}, \qquad V=\frac{hS^2}{4\pi l^2}+\frac{\pi h(l^2-h^2)}{12}.$$
