Упр.501 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объем усеченного конуса.

Подробный ответ

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле

$$V=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right),$$

где $$R=6$$ м — радиус большего основания, $$r=3$$ м — радиус меньшего основания, $$h$$ — высота усечённого конуса.

Найдём высоту. В осевом сечении получаем прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна образующей $$l=5$$ м, один катет равен разности радиусов:

$$R-r=6-3=3\text{ м}.$$

По теореме Пифагора:

$$h^2+(R-r)^2=l^2,$$

$$h^2+3^2=5^2,$$

$$h^2=25-9=16,$$

$$h=4\text{ м}.$$

Теперь подставим значения в формулу объёма:

$$V=\frac{1}{3}\pi\cdot 4\left(6^2+6\cdot 3+3^2\right),$$

$$V=\frac{4}{3}\pi\left(36+18+9\right)=\frac{4}{3}\pi\cdot 63=84\pi.$$