Упр.501 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Радиусы оснований усеченного конуса равны $$3\ \text{м}$$ и $$6\ \text{м}$$, а образующая равна $$5\ \text{м}$$. Найдите объем усеченного конуса.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле

$$V=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right),$$

где $$R=6$$ м — радиус большего основания, $$r=3$$ м — радиус меньшего основания, $$l=5$$ м — образующая.

Найдём высоту $$h$$. В осевом сечении усечённого конуса получаем прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна $$l$$, а один катет равен разности радиусов:

$$R-r=6-3=3.$$

По теореме Пифагора:

$$h^2+(R-r)^2=l^2,$$

$$h^2+3^2=5^2,$$

$$h^2=25-9=16,$$

$$h=4\text{ м}.$$

Теперь подставим значения в формулу объёма:

$$V=\frac{1}{3}\pi\cdot 4\left(6^2+6\cdot 3+3^2\right),$$

$$V=\frac{4}{3}\pi(36+18+9)=\frac{4}{3}\pi\cdot 63=84\pi.$$

Ответ: $$84\pi\ \text{м}^3$$.