Упр.500 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Площадь полной поверхности конуса равна $$45\pi\ \text{дм}^2$$. Развёрнутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в $$60^\circ$$. Найдите объём конуса.

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$l$$ — образующая, $$h$$ — высота.

Полная поверхность конуса равна сумме площади основания и боковой поверхности:

$$S_{\text{полн}}=\pi r^2+\pi rl=45\pi.$$

Отсюда

$$r^2+rl=45. \tag{1}$$

Боковая поверхность при развертке является сектором с углом $$60^\circ$$. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса, поэтому

$$\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi l=2\pi r,$$

откуда

$$\frac{l}{6}=r,\qquad l=6r. \tag{2}$$

Подставим (2) в (1):

$$r^2+r\cdot 6r=45,$$

$$7r^2=45,$$

$$r^2=\frac{45}{7}.$$

Теперь найдём высоту по теореме Пифагора:

$$h^2=l^2-r^2=(6r)^2-r^2=35r^2,$$

$$h=r\sqrt{35}.$$

Тогда объём конуса:

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot \frac{45}{7}\cdot r\sqrt{35}.$$

Так как $$r=\sqrt{\frac{45}{7}},$$ получаем

$$V=\frac13\pi\cdot \frac{45}{7}\cdot \sqrt{\frac{45}{7}}\cdot \sqrt{35} =\frac13\pi\cdot \frac{45}{7}\cdot \sqrt{225} =\frac13\pi\cdot \frac{45}{7}\cdot 15 =\frac{225\pi}{7}.$$

Ответ: $$\frac{225\pi}{7}\ \text{дм}^3$$.