Исследовательские задачи Упр.5 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Исследуйте, сколько различных точек может быть среди тех 12 точек, через которые проходит сфера Эйлера.

Сфера Эйлера проходит через 12 точек, связанных с четырьмя гранями тетраэдра: для каждой грани это

• точка, делящая отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с его ортоцентром, в отношении $$2:1$$;
• центроид грани;
• ортоцентр грани.

Всего получается $$12$$ точек, но некоторые из них могут совпадать.

Если тетраэдр правильный, то в каждой грани центроид и ортоцентр совпадают. Тогда из $$12$$ точек остаётся только $$8$$ различных.

Если тетраэдр ортоцентрический, но не правильный, то в одной грани все три точки Эйлера совпадают в одной точке, а в трёх остальных гранях по две точки совпадают. Тогда получается $$11$$ различных точек.

В общем случае все $$12$$ точек могут быть различными.

Ответ: $$8,\ 11,\ 12$$.