Практика Упр.5 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. По четырём дорогам, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, с постоянными скоростями идут 4 пешехода. Известно, что первый пешеход встретился со вторым, третьим и четвёртым, а второй — с третьим и четвёртым. Докажите, что третий пешеход встретился с четвёртым.

Введём систему координат: ось $$OT$$ будем считать осью времени, а оси $$OX$$ и $$OY$$ — координатами пешеходов в данный момент.

Тогда движение каждого пешехода изображается прямой в пространстве «координата — время».

Так как первый пешеход встретился со вторым, третьим и четвёртым, то прямые, соответствующие пешеходам $$1,2,3$$ и $$1,2,4$$, пересекаются попарно в точках встреч. Значит, прямые $$1,2,3$$ лежат в одной плоскости, и прямые $$1,2,4$$ тоже лежат в одной плоскости.

Но через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Следовательно, плоскости, содержащие прямые $$1,2,3$$ и $$1,2,4$$, совпадают.

Значит, прямые $$3$$ и $$4$$ также лежат в одной плоскости, а это означает, что третий пешеход встретился с четвёртым.