Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.5 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высоты треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$H$$. Известно, что $$CH=AB$$. Найдите угол $$ACB$$.

Рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$CHE$$.

Так как $$BE \perp AC$$ и $$CD \perp AB$$, то точки $$E$$ и $$H$$ — основания высот, а значит $$\angle AEB=90^\circ$$ и $$\angle CEH=90^\circ$$.

Кроме того, $$\angle CHE=\angle BHD$$, $$\angle ECH=\angle EBA$$, а по условию $$AB=CH$$.

Следовательно, $$\triangle ABE \cong \triangle CHE$$, откуда $$AE=EH$$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$AEH$$ углы при основании равны, значит

$$\angle HAE=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACF$$. Поскольку $$AF \perp BC$$, то $$\angle AFC=90^\circ$$, а луч $$AH$$ лежит внутри угла $$\angle BAC$$, поэтому

$$\angle ACB=90^\circ-\angle HAE=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$.